Решение систем линейных уравнений

Исходный вид системы:

a_{1 1} x_{1 +... +} a_{1 i} x_{i +... +} a_{1 p} x_{p =} b₁

_...

a _{j 1} x_{1 +... +} a _{j i} x_{i +... +} a _{j p} x_{p =} b_j

_...

a _{p 1} x_{1 +... +} a_{p i} x_{i +... +} a_{p p} x_{p =} b_p

где a _{i j} – коэффициенты системы при неизвестных; b_i – свободные члены.

В свернутом виде система описывается следующим выражением:

; , .

В матричном виде система имеет вид

А Х = В,

a_{1 1}... a_{1 i}... a_{1 p}

...

где А = a_{j 1} ... a_{j i} ... a_{j p}

...

a _{p 1}... a _{p i}... a _{p p}

b₁

...

B = b_j

...

b_p

х₁

...

Х = х_j

...

х_p

Требуется найти значения Х, удовлетворяющие всем уравнениям системы.

Методами решения систем линейных уравнений являются: метод подстановок, метод последовательного исключения переменных, метод Крамера (матричный метод). Могут также применяться методы решения систем нелинейных уравнений.

Метод подстановок (последовательного выражения переменной из одного уравнения и подстановки в другое) не удобен для алгоритмизации расчетов при переменном числе переменных.

Метод последовательного исключения переменных достаточно удобен для машинной реализации. При этом методе с помощью преобразований строк текущей системы (выравнивания коэффициентов при первой переменной текущей системы и взаимного вычитания из одного уравнения другого) получается новая система без первой переменной. Таким образом, на каждом этапе таких последовательных преобразований получаем понижение числа переменных (на последнем этапе до одной):

a_{1 1} x_{1 +... +} a_{1 i} x_{i +... +} a_{1 p} x_{p =} b₁

a'_{2 2} x_{1 +... +} a'_{2 i} x_{i +... +} a'_{2 p} x_{p =}b'₂

...

х_р = b'_р,

где штрихом обозначены значения коэффициентов после преобразований.

Значение свободного члена для уравнения с одной переменной дает решение, например по переменной х_р (х_р=b'_р), Затем из одного из уравнений системы предпоследнего этапа находится х_р-1 и т.д., для 1-го – x₂ и из исходной системы – х₁. Разновидность – метод Гаусса с выбором главного элемента.

Метод Крамера основан на матричном исчислении и наиболее удобен с точки зрения соста вления алгоритма и его программной реализации на компьютере.

По методу Крамера

X = A^-1 B

или

x_i = det A_i / det A,

где А ^-1 – матрица, обратная матрице А;

A_i – матрица, полученная по матрице А с заменой в ней i- го столбца столбцом свободных членов (a_ji=b_j), ;

det – детерминант (определитель) матрицы.

Если det A равен нулю, то система не определена. При малых значениях det A система слабо обусловлена.

Поиск по сайту: