Интервальная оценка параметров и определение интервалов распределения случайных величин

Интервальная оценка параметра распределения случайной величины определяется тем, что с вероятностью g

abs(P – P_м) ≤d,

где P – точное (истинное) значение параметра;

P_м – оценка параметра по выборке;

d – точность (ошибка) оценивания параметра Р.

Наиболее часто принимают g от 0.8 до 0.99.

Доверительный интервал параметра [P_м–d, P_м+d] – это интервал, в который попадает значение параметра с вероятностью g. Например, на этой основе находится требуемый размер выборки случайной величины, который обеспечивает оценку математического ожидания при точности d с вероятностью g. Вид связи определяется законом распределения случайной величины.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Х₁, Х₂] определяется приращением интегральной функции распределения на рассматриваемом интервале F(Х₂)–F(Х₁). Исходя из этого, при известной функции распределения можно найти ожидаемое гарантированное минимальное Х_гн (x≥ Х_гн) или максимальное значение Х_гв (x≤ Х_гв) случайной величины с заданной вероятностью g (рисунок 2.15). Первое из них является тем значением, больше которого случайная величина будет с вероятностью g, а второе – что случайная величина с вероятностью g меньше этого значения. Гарантированное минимальное значение Х_гн с вероятностью g обеспечивается при F(x)= 1-g и максимальное Х_гв при F(x)=g. Таким образом, значения Х_гн и Х_гв находятся по выражениям:

Х_гн = F^-1 (1-g);

Х_гв = F^-1 (g).

Пример. Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с функцией .

Требуется найти значения Х_гн и Х_гв, для которых случайная величина х с вероятностью g=0.95 соответственно больше Х_гн и меньше Х_гв.

Исходя из того, что F^-1 (α) = -1/l ln(1- α) (см.вывод ранее) и α = 1-g = 0.05 получаем

Х_гн = -1/l ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.05)=-100 (-.0513)=5.13.

Для Х_гв α = g = 0.95 аналогично имеем

Х_гв = -1/l ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.95)=-100 (-2.996)=299.6.

Для нормального закона распределения значения Х_гн и Х_гв могут быть рассчитаны по формулам

Х_гн = х_м + s U_1-g = х_м - s U_g;

Х_гв = x_м + s U_g,

где x_м – математическое ожидание случайной величины; s – среднеквадратическое отклонение случайной величины; U_g – односторонняя квантиль нормального закона распределения при вероятности g.

1.0

F(x)

0.80

0.60

g

0.40

0.20

1-g

x_гн x_гв x

Рисунок 2.15 – Графическая интрепретация определения Х_гн и Х_гв

Поиск по сайту: