Исследование распределения случайных величин

Случайная (стохастическая) величина может быть одной двух видов – дискретная или непрерывная.

Распределение случайных величин подчиняется определенным закономерностям, называемым законами распределения. Примерами законов распределения являются:

для дискретных – биномиальный, отрицательный биномиальный, Пуассона, гипергеометрический, Паскаля и его частный случай геометрический (Фарри), дискретный равномерный;

для непрерывных – нормальный, логарифмически нормальный, экспоненциальный (показательный), равномерный, Эрланга, Релея, Вейбулла.

Для практических целей находят применение кроме базовых законов распределения их усеченные и сдвинутые (со смещением) варианты.

Усеченные варианты законов распределения ограничивают интервал варьирования случайной величины слева или справа или слева и справа. Если функция распределения базового (неусеченного) закона имеет вид

,

то функции усеченного варианта этого же закона представляют следующие выражения

;

при x_н≤x ≤ x_в,

; ,

где F(x), f(x) и F_у(x), f_у(x) – функции распределения (интегральные) F(x) и F_у(x) и функции плотности распределения (дифференциальные) f(x) и f_у(x) переменной x соответственно для базового и усеченного законов; x_н– нижняя (левая) граница усечения; x_в– верхння (правая) граница усечения.

Пример графиков функций базового и усеченного распределений приведен на рисунке 2.8.

f(x)

f_у(x)

f(x)

x_н x_в x

F(x)

1.0

F_у(x)

F(x)

x_н x_в x

Рисунок 2.8 – Графики базовового и усеченного законов распределения

Сдвинутое(смещенное) распределение характеризуется тем, что в отличие от базового, оно формируется не от начального значения x _н для базового закона (например, нуля), а от минимально возможного значения x_c (x_н≤x_c). Сдвиг распределения не изменяет его форму, если базовое теоретическое распределение, например нормальное, определено на интервале от минус бесконечности.

Общий вид функции распределения со сдвигом имеет вид

, где f_с (x) – функция плотности закона распределения со сдвигом.

Функция плотности закона распределения со сдвигом f_c(x) отличается от функции базового закона f(x) тем, что в ней величина x заменяется x - x_c, а значения ее параметров определяются по зависимостям для базового закона распределения, в которые вместо оценки математического ожидания x_м подставляется величина x_м - x _c.

Например, для экспоненциального закона распределения имеем (ринунок 2.9):

для базового варианта закона ; ; ; ;

для сдвинутого ; ; ; ,

где – оценка математического ожидания случайной величины.

Математическая обработка выборки случайной величины производится с целью определения закономерностей изучаемого процесса (явления).

Для ее исследования необходимо сделать выборку из генеральной совокупности. Наблюдения случайной величины должны проводится в одинаковых условиях. Исследуемая совокупность должна быть однородной. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Необходимый размер выборки, обеспечивающий оценку параметров распределения с заданной относительной точностью e и вероятностью g, зависит от закона распределения и его параметров.

f(x)

f_c(x)

f(x)

x_с x

F(x)

1,0

F(x)

F_c(x)

x_с x

Рисунок 2.9 – Графики базовового и смещенного (сдвинутого) законов распределения

Например, для нормального закона распределения размер выборки n определяется выражением

,

где – квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности 1-g и числе степеней свободы n-1; – квантиль нормального закона распределения при доверительной вероятности 1-g; v – коэффициент вариации случайной величины; e – заданная относительная точность оценки математического ожидания случайной величины.

Для определения закономерностей распределения случайных величин рассчитываются характеристики эмпирического распределения, выдвигается гипотеза о теоретическом законе и находятся значения его параметров, производится оценка согласованности теоретического и эмпирического распределений.

Одним из возможных алгоритмов расчета характеристик эмпирического распределения непрерывной случайной величины является следующий:

а) по результатам наблюдения (замеров) необходимо получить заданное число n значений исследуемого параметра для процесса, явления, предмета;

б) составить интервальные статистические ряды распределения частот и частостей полученных значений случайной величины:

1) найти в выборке минимальное Х_мin и максимальное Х_мах значения случайной величины и размах варьирования Х_р=Х_мах-Х_мin;

2) определить число интервалов N разбиения случайной величины

N_п = 1 + int(3.32 lg n);

N= max (N_п; 5),

где n – размер выборки случайной величины;

3) рассчитать длину интервала h

h = Х_р / N;

4) определить границы Х_j (верхнюю), Х_j-1 (нижнюю) и середину Х_сj каждого j-го интервала распределения случайной величины ()

X_j = X_мin + j h; X_j-1 = X_мin + (j-1) h;

X_сj = (X_j-1 + X_j)/2.

5) подсчитать число попаданий случайной величины в каждый j-й интервал (частоты М_j), для чего пересмотреть все числа x_i () относительно границ интервалов

М_j = М _j + 1, если X _j-1 £ x_i < X _j при ;

М_j = М _j + 1, если X _j-1 £ x_i £ X _j при j = N;

6) определить частости (эмпирические вероятности) p_эj попадания значений случайной величины в каждый из интервалов путем деления соответствующих частот на объем выборки n, т.е. p_{эj =} М_j / n. Сумма всех частот равна объему выборки

,

а сумма частостей p_эj соответственно равна единице.

7) представить интервальные статистические ряды в виде массивов

в) Построить гистограмму или полигон эмпирического распределения

Для построения гистограммы по оси х откладывают границы интервалов значений случайной величины и для каждого из интервалов строится прямоугольник, высота которого равна частному от деления частости данного интервала на величину интервала: f_эj= p_эj/h, где f_эj – эмпирическая функция плотности вероятности. Полигон строится также по значениям f_эj, но на серединах интервалов в виде ломаной линии (рисунок 2.10).

1

0.25

f_эj

0.15

0.10 2

0.05

X_мin X_max х

X₀ X₁ X₂ X_j (j=N)

Рисунок 2.10 – Гистограмма (1) и полигон (2) эмпирического распределения (пример)

г) определить значения эмпирической функции распределения и построить ее график

(рисунок 2.11). При этом (j=0).

д) Определить числовые характеристики выборки: начальные m_k и центральные статистические m_ck моменты k -го порядка и рассчитываемые через них параметры – оценки математического ожидания x_m, выборочной дисперсии s², среднеквадратического (стандартного) отклонения s, коэффициентов вариации V и сдвинутого (смещенного) распределения V_c, коэффициентов асимметрии A и эксцесса E

;

;

;

1.0

F_э

0.6

0.4

0.2

X_min X_max x

X₀ X₁ X₂ X_J (j=N)

Рисунок 2.11 – График эмпирической функции распределения (пример)

или или ;

;

V= s / x_м ;

V_c= s /(x_м - x_c);

;

.

Поправочные коэффициенты k_с, k_а и k_е служат для получения несмещенной оценки параметров и определяются по формулам:

k_с = n / (n-1);

k_а = n² / (n ² - 3 n + 2);

k_е ≈ 1.

Гипотеза о законе распределения исследуемой случайной величины выдвигается на основании учета следующей информации:

1) условия и факторы, влияющие на процесс формирования значений случайной величины;

2) форма гистограммы (полигона) эмпирического распределения;

3) значения коэффициента вариации V или V_c для сдвинутого распределения

4) значения выборочных коэффициентов асимметрии А и эксцесса Е. Нормальный закон распределения допустимо выбирать в случае, если выполняются неравенства abs(A)<3S_а и abs(E)<3S_е,

;

.

Для выбранного закона распределения определяются значения его параметров, записываются выражения для функции плотности вероятности f(x) и функции распределения F(x) исследуемой случайной величины, строятся графики функций f(x) и F(x). Для некоторых законов распределения ниже приведены вид функции плотности вероятности и функции распределения, а также зависимости для вычисления значений параметров.

Поиск по сайту: