Предельные теоремы в схеме Бернулли
По-прежнему рассматриваем испытаний Бернулли. И нас по-прежнему интересует величина . Вы скажете, а зачем нам что-то искать, есть же: . Хорошо, а что делать в случае 10000-кратного подбрасывания монеты? Например . Большое это число или маленькое?
Каков же ответ? Будем вычислять с некоторой погрешностью.
Рассмотрим испытаний Бернулли, , -число успехов в испытаниях.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Справедливо следующее соотношение
равномерно по k: при фиксированном . Это означает, что
, где
-функция Гаусса.
Для функции существуют таблицы, которые показывают значения функции в различных точках. Таблицы устроены следующим образом:
X
|
|
| …
|
|
| 0,0
|
|
|
|
|
| 0,1
|
|
|
|
|
| …
|
|
|
|
|
| 1,4
|
|
|
|
|
| …
|
|
|
|
|
| Доказательство (теоремы):
Будем пользоваться следующими утверждениями, известными из курса математического анализа:
Лемма 1 (Формула Стирлинга).
Лемма 2. где для всех
Имеем
,
Запишем, что такое
Рассмотрим
Итак, .
Перепишем . Теорема доказана.
Лекция 4. (28.09.10)
Задача: Пусть есть 2 числа и : 0 n.
Как вычислить
Возникают сложности: 1) в степенях, 2) в количестве слагаемых.
Можно заменить на приближение (по локальной теореме), но тогда погрешность может быть очень большой!
Ответ дается в следующей теореме. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | Поиск по сайту:
|