Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Рассмотримвероятностное пространство ().

Определения:

1. - испытание – это разбиение множества элементарных событий на попарно несовместные.

Т.е. = { }, и ;

2. Рассмотрим два испытания: ₁= { }; ₂ = { }

₁ и ₂ - независимые испытания, если - независимые.

Пусть имеются несколько испытаний ₁, ₂, …, _k. Они независимы ó - взаимно независимые события.

Примеры: 1) Рассмотрим двукратное подбрасывание симметричной монеты:

= { (ОО), (ОР), (РО), (РР)}; Все исходы равновероятны.

₁ = { }, где ={(ОО),(ОР)} - первый элемент – О

= {(РО),(РР)} - первый элемент – Р

₂ = { }, где = {(ОО),(РО)} - второй элемент – О

= {(ОР),(РР)} - второй элемент – Р

= {(ОО)} = = * =

= = , где = {(ОО),(ОР)} , = {(ОО),(РО)} .

Таким образом, убедились в независимости испытаний.

2) одновременное подбрасывание монетки и кубика: = { (0,1), (0,2), …,(0,6), (Р1), …,(Р6)}, все исходы равновероятны, =

₁ = { }, где ={на монетке выпал орел}, = {на монетке выпала решка}

₂ = { }, где = {на кубике выпала i-я грань}.

Эти испытания независимы.

Определение:

n испытаний Бернулли – это n независимых испытаний с двумя исходами в каждом испытании, условно называемые «успехом» и «неудачей», и с постоянной вероятностью «успеха» во всех испытаниях.

Пусть ₁, ₂, …, _n - независимые испытания

_k = {У_k, Н_k}, У_k = p k

Пусть событие = {в n испытаниях произошло ровно k успехов}

Обозначение: =

Рассматриваем объединение попарно несовместных событий: = (УУ…УН…Н) (УУ…УНУН…Н) …,

где в каждой комбинации из символов У и Н k штук У и (n-k) штук Н;

Рассмотрим цепочку и посчитаем УУНУ…НУ , где k успехов и (n-k) неудач.

УУНУ…НУ = У₁ У₂ Н₃ Н₄ … Н_n-1 У_n = p^k * (1-p)^n-k = p^k * q^n-k , где q^n-k=(1-p)^n-k

Сколько таких цепочек? Ответ - . Итак, получаем

= * * - Формула Бернулли

Следствия:

1) =

2) =

3) хотя бы один успех =

Задача: Рассмотрим n испытаний Бернулли, ₁ У = , где 0< <1

Пусть - наивероятнейшее число успехов в n испытаниях, n, p – известны, =?

Найдем все такие k, для которых выполняется неравенство

Возможны 2 ситуации:

1.

= [ ] – одно наивероятнейшее число успехов.

2.

Если , то

То два наивероятнейших числа успехов.

Пример: Возьмем симметричную монету.

Каково наиболее вероятное число успехов (орлов) при подбрасывании 10 раз? Ответ - 5.

Каково наиболее вероятное число успехов (орлов) при подбрасывании 13 раз? Ответ - 6 и 7.

Поиск по сайту: