Выполнение задания 2

Пример

Предположим, что инвестор имеет возможность составить сроком на 1 год портфель из 4 видов ценных бумаг:

ГО – государственные облигации с купонной ставкой 8 % годовых,

ГФ – корпоративные ценные бумаги (голубые фишки) с купонной ставкой 9 % годовых,

инвестиционные проекты 1 и 2, все доходы которых поступят в конце года. Доходность инвестора зависят от состояния экономики в конце года и определяется таблицей

Например, если инвестор в начале года вкладывает все средства в корпоративные ценные бумаги (в ГФ), а в конце года ожидается незначительный спад экономики, то он может рассчитывать на доходность 10 % (элемент таблицы на пересечении второй строки и третьего столбца). Инвестор стремится распределить все свои средства между ценными бумагами так, чтобы доходность портфеля была наибольшей.

Сформулируем эту задачу как матричную игру двух лиц с нулевой сумой. Игрок I – инвестор выбирает одну из четырех ценных бумаг. Его чистая стратегия инвестора состоит в выборе одну из четырех строк матрицы доходов. Игрок II – “экономика” выбирает одно из состояний. Чистая стратегия “экономики” состоит в выборе столбца матрицы доходов. Если инвестор выбирает строку i, а “экономика” выбирает столбец j, то элемент матрицы доходов q (i, j) является выигрышем инвестора. Считаем, что игрок II – “эконо-мика” выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать доход инвестора. При этом выигрыш “экономики” равен выигрышу инвестора с противо-положным знаком - q (i, j).

Обозначим p 1 долю капитала, потраченную на приобретение ГО, p 2 долю капитала, потраченную на приобретение ГФ, p 3 – долю капитала, которую он вкладывает в проект 1, p 4 – долю капитала, которую он вкладывает в проект 2. Смешанной стратегией инвестора является набор долей капитала

,

,

т.е. распределение капитала между ценными бумагами (портфель ценных бумаг). Тогда выражение

8p1 + 12 p 2 - 3 p 3 – 2 p 4

определяет доход портфеля инвестора, если в конце года произойдет спад экономики.

Аналогично, выражения

8 p 1 + 10 p 2 + 6 p 3 + 9 p 4,

8 p 1 + 9 p 2 + 11 p 3 + 12 p 4,

8 p 1 + 8,5 p 2 + 14 p 3 +1 9 p 4,

8 p 1 + 8 p 2+ 19 p 3 + 26 p 4

определяет доход портфеля инвестора, если в конце года произойдет незначительный спад, стагнация, незначительный подъем и сильный подъем соответственно.

Смешанной стратегиейвторого игрока – “экономики” является набор

,

,

где обозначают вероятность, в конце года произойдет спад экономики,незначительный спад, стагнация, незначительный подъем и сильный подъем соответственно. Тогда ожидаемый доход портфеля инвестора будет равен

v(p,q) = (8 p 1 + 12 p 2 – 3 p 3 – 2 p 4) q 1 + (8 p 1 +10 p 2 + 6 p 3 + 9 p 4) q 2 +

+ (8 p 1 + 9 p 2 + 11 p 3 + 12 p 4) q 3+(8 p 1 + 8,5 p 2 +14 p 3 + 19 p 4) q 4+

+ (8 p 1 + 8 p 2 + 19 p 3 + 26 p 4) q 5.

Игрок I – инвестор должен выбирать свои смешанные стратегии p так, чтобы получить максимальный ожидаемый доход портфеля, а игрок II – “экономика” должен выбирать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать ожидаемый доход портфеля игрока I.

Определение значения игры и оптимальной стратегии инвестора является задачей линейного программирования:

найти переменные v, p 1, p 2, p 3, p 4, v, которые максимизируют его выигрыш

max v

при ограничениях

,

8 p 1 + 12 p 2 – 3 p 3 – 2 p 4 – v ≥ 0,

8 p 1 + 10 p 2 + 6 p 3 + 9 p 4 – v ≥ 0,

8 p 1 + 9 p 2 + 11 p 3 + 12 p 4 – v ≥ 0,

8 p 1 + 8,5 p 2 + 14 p 3 + 19 p 4 – v ≥ 0,

8 p 1 + 8 p 2 + 19 p 3 + 26 p 4 – v ≥ 0,

p 1 ≥ 0 p 2 ≥ 0 p 3 ≥ 0 p 4 ≥ 0,

переменная v не имеет ограничения на знак.

Смысл неравенств состоит в следующем. Если инвестор использует свои оптимальные доли распределения капитала p 1, p 2, p 3, p 4, то его ожидаемый доход будет не меньше значения игры v при любом состоянии экономики в конце года т.е. при любом состоянии экономики инвестор гарантирует себе доход портфеля, равный v.

Поиск по сайту: