Записать двойственную задачу и дать ее экономический смысл

Правило построения двойственной задачи состоит в следующем. Каждому равенству прямой задачи (4.1.4) соответствует двойственная переменная

у 1 → 5 x 1 + 10 x 2 + s 1 =1000,

у 2 → 0,1 x 1 + 0,3 x 2 + s 2 =25.

Стрелки показывают, что первому равенству соответствует переменная y 1, а второму – переменная y 2.

Для определения целевой функции W двойственной задачи двойственные переменные y 1 и y 2 умножаются на правые части равенств (4.1.4) и складываются:

W = 1000 y 1 + 25 y 2.

Каждой переменной прямой задачи x 1, x 2, s 1, s 2 соответствует ограничение двойственной задачи. Левые части этих ограничений для переменной x 1 записываются следующим образом. Двойственные переменные y 1 и y 2 умножаются на коэффициенты перед переменной x 1 в (2.1.4) и складываются:

5 y 1 + 0,1 y 2.

Аналогично, записываются левые части ограничений для переменной x 2. Двойственные переменные y 1 и y 2 умножаются на коэффициенты перед переменной x 2 в (4.1.4) и складываются:

10 y 1+ 0,3 y 2.

Левая часть ограничений для переменной s 1 равна y 1,а для переменной s 2 – y 2.

Правые части ограничений равны коэффициентам 40, 130, 0, 0 целевой функции Z

Z = 40 x 1 + 130 x 2 +0 s 1+0 s 2

перед переменными x 1, x 2, s 1, s 2. Левые и правые части ограничений соединяются знаком ≥.

В результате двойственная задача имеет вид:

найти двойственные переменные y 1 и y 2,при которых целевая функция W (4.2.1) минимальна

min W = 1000 y 1 + 25 y 2

при ограничениях (4.2.2 – 4.2.5):

x 1 5 y 1+ 0,1 y 2 40,

x 2 10 y 1+ 0,3 y 2 130,

s 1 y 1 0,

s 2 y 2 0.

Переменные y 1, y 2, называются допустимым решением двойственной задачи, если они удовлетворяют всем ограничениям (4.2.2 - 4.2.5) и оптимальными, если они допустимые и на них целевая функция W достигает минимума.

Экономический смысл двойственной задачи:

двойственная переменная y 1 определяет теневую цену 1 кг сырья, а

двойственная переменная y 2 определяет теневую цену 1 часа работы оборудования.

Тогда целевая функция

W = 1 000 y 1 + 25 y 2

задает стоимость запасов сырья и времени работы оборудования в теневых ценах.

Выражение

z 1 = 5 y 1+0,1 y 2

определяет стоимость 5 кг сырья и 0,1 часа времени, затраченных на изготовление единицы продукции 1 в теневых ценах, а выражение

z 2 = 10 y 1+ 0,3 y 2

определяет стоимость 10 кг сырья и 0,3 часа времени, затраченных на изготовление единицы продукции 2 в теневых ценах.

Определим величины приведенных стоимостей (4.2.6 – 4.2.7)

Δ₁ = 5 y 1 + 0,1 y 2 – 40,

Δ₂ = 10 y 1 + 0,3 y 2 – 130.

Если величина Δ j положительна, то стоимость ресурсов больше рыночной цены этого продукта. В этом случае производство продукта убыточно. Если величина Δ j отрицательна, то стоимость ресурсов меньше рыночной цены этого продукта. Если величина Δ j равна 0, то стоимость ресурсов равна рыночной цене. Ограничения двойственной задачи

5 y 1+ 0,1 y 2 40,

10 y 1+ 0,3 y 2 130

можно теперь записать (4.2.9 – 4.2.10)

Δ1 ≥ 0,

Δ2 ≥ 0.

Отсюда следует, что при допустимых теневых ценах y 1, y 2 производство обоих продуктов неприбыльно.

Можно дать следующую экономическую интерпретацию двойственной задачи. Некоторая фирма предлагает производителю продукции продать ей все запасы ресурсов по теневым ценам y 1, y 2. Неравенства (4.2.2) и (4.2.3) означают, что в предлагаемых теневых ценах производство обоих видов продукции неприбыльно. Таким образом, решение двойственной задачи определяет минимальный уровень рыночных цен y 1, y 2, при котором производить продукцию неприбыльно.

Поиск по сайту: