Текущая стоимость последовательности платежей

Текущая стоимость последовательности платежей – это первоначальный капитал, обеспечивающий выплату заданной последовательности платежей. (Таким образом, данное определение обобщает понятие текущей стоимости отдельно взятого платежа.)

Найдём формулу для текущей стоимости последовательности платежей. Для простоты предположим, что последовательность платежей состоит из трёх платежей и , выплачиваемыми через равные промежутки времени (причем первый платёж выплачивается в конце первого промежутка времени). Временная диаграмма такой последовательности платежей имеет вид:

Платежи

Время 0 1 2 3

Пусть – начальный капитал, обеспечивающий выплату такой последовательности платежей. Обозначим через эффективную процентную ставку для периода времени между двумя платежами. Тогда наращенная сумма к концу первого периода составит . После выплаты первого платежа капитал уменьшится на величину первого платежа и составит . Следовательно, в конце второго периода капитал составит . После выплаты второго платежа капитал составит . Следовательно, к концу третьего года капитал составит . После выплаты третьего платежа капитал составит . Приравняв последнее выражение к нулю, получим следующее уравнение: . Из этого уравнения легко выразить :

. (1)

Пример 1. Пусть три платежа, размером 200, 300 и 150 д.е. выплачиваются в конце первого, второго и третьего года, соответственно. Эффективная годовая процентная ставка равна 12%. Требуется определить текущую стоимость такой последовательности платежей.

Решение. Итак, , , , .

Таким образом, для того чтобы обеспечить выплату такой последовательности платежей, в текущий момент времени нужно положить в банк 524,50 д.е.

В случае, когда последовательность платежей состоит из n платежей, выплачиваемых через равные промежутки времени (причем первый платёж выплачивается в конце первого промежутка времени), текущая стоимость находится по формуле:

, (2)

где r – эффективная процентная ставка для периода времени между двумя платежами.

Рассмотрим более общий случай, когда платежи выплачиваются через любые (не обязательно равные) промежутки времени. Обозначим через срок выплаты платежа . Временная диаграмма такой последовательности платежей имеет вид:

Платежи C ₁ C ₂ C ₃............ C_n

Время 0 t ₁ t ₂ t ₃............ t_n

Несложно показать, что в этом случае текущая стоимость последовательности платежей имеет вид:

, (3)

где r – эффективная процентная ставка для периода, равного единице измерения времени сроков платежей .

Пример 2. Пусть последовательность платежей состоит двух платежей. Первый платёж, равный 250 д.е. выплачивается через 2 месяца, а второй платёж, равный 300 д.е., выплачивается через 7 месяцев. Известно, что эффективная процентная ставка для одного квартала равна 4%. Требуется определить текущую стоимость такой последовательности платежей.

Решение. Итак, года, года, (для одного квартала).

Задачу можно решить двумя способами (в зависимости от того, какой период взять в качестве единицы измерения времени).

Первый способ. Возьмём квартал в качестве единицы измерения времени. Выразим сроки платежей в кварталах: квартала, квартала. Теперь мы можем воспользоваться формулой (3):

Второй способ. Возьмём год в качестве единицы измерения времени. Найдем эффективную процентную ставку для одного года (по формуле (26) главы 1): . Теперь мы можем найти текущую стоимость:

Из формулы (3) следует, что

, (4)

где – коэффициент дисконтирования для срока платежа . Таким образом, текущая стоимость последовательности платежей равна сумме дисконтированных платежей.

Заметим, что – текущая стоимость платежа . Обозначим текущую стоимость платежа через . Поскольку , формулу (4) можно записать в следующем виде:

. (5)

Таким образом, текущая стоимость последовательности платежей равна сумме текущих стоимостей отдельно взятых платежей.

Пример 3. Найдем текущую стоимость последовательности платежей из примера 1 по формуле (5).

Итак, , , , . Найдём текущие стоимости платежей: д.е., д.е., д.е. Теперь мы можем воспользоваться формулой (5): д.е.

Таким образом, мы получили такой же результат как и в примере 1.

Поиск по сайту: