Использование моделей логит и пробит для оценки кредитного риска

В моделях логит и пробит предполагается, что для некоторого (ненаблюдаемого) показателя дефолта выполнены равенства

, , (7)

для известных наблюдений, и равенство

(8)

для потенциального заемщика.

Причем без ограничения общности можно считать, что стандартные отклонения случайных ошибок и равны 1.

Обозначим через функцию распределения случайных ошибок и . В модели логит в качестве выступает функция логистического распределения:

, (9)

а в модели пробит – функция стандартного нормального распределения:

. (10)

В моделях логит и пробит, считается, что (наблюдаемые) показатели дефолта и связаны с (ненаблюдаемыми) показателями и следующим образом:

(11)

(12)

Из (8) и (12) следует, что

(13)

Таким образом,

(14)

Заметим, что из (14) следует, что

(15)

Отметим, что для (известных) наблюдений имеют место равенства, аналогичные (14) и (15), т.е.

(16)

(17)

Оценки коэффициентов определяются методом максимального правдоподобия.

В силу равенств (16) и (17) функция правдоподобия для моделей логит и пробит имеет вид:

. (18)

Легко показать, что формулу (18) можно записать в следующем виде:

. (19)

Оценки получаются в результате максимизации функции максимального правдоподобия по параметрам .

Отметим, что максимизация функции правдоподобия эквивалентна максимизации логарифмической функции правдоподобия. (Напомним, что логарифмическая функция правдоподобия равна натуральному логарифму функции правдоподобия.)

Найдем логарифмическую функцию правдоподобия для моделей логит и пробит.

Прологарифмировав формулу (19), получим:

. (20)

Можно показать, что для моделей логит и пробит логарифмическая функция правдоподобия является вогнутой.

Для потенциального заемщика прогнозное значение вероятности дефолта полагается равным , где - (известное) значение k -го показателя потенциального заемщика.

Поиск по сайту: