Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций

Поскольку портфель облигаций выплачивает последовательность платежей, продолжительность портфеля облигаций находится по формуле (12) главы 2, т.е.

, (1)

где w_k – доля текущей стоимости k -го платежа портфеля в текущей стоимости портфеля, – срок выплаты k -го платежа портфеля, n – количество платежей портфеля.

Докажем, что для продолжительности портфеля облигаций справедлива формула:

, (2)

где wⁱ – доля текущей стоимости облигаций i -го вида в текущей стоимости портфеля, – продолжительность облигации i -го вида, m – количество видов облигаций в портфеле.

Введем следующие обозначения.

– количество облигаций i -го вида в портфеле, – текущая стоимость k -го платежа облигации i -го вида, – текущая стоимость облигации i -го вида, – текущая стоимость k -го платежа портфеля, – текущая стоимость портфеля, – доля текущей стоимости k -го платежа облигации i -го вида в текущей стоимости облигации i -го вида.

Очевидно, что имеют место следующие формулы:

, , , (3)

, , , . (4)

С учетом формул (3)-(4), имеем

Таким образом, мы доказали формулу (2).

Пример 1. Портфель облигаций состоит из 40 облигаций первого вида и из 50 облигаций второго вида. Для облигации первого вида: номинальная стоимость – 100 д.е., годовая номинальная купонная ставка – 15%, купонный период – 1 год, до погашения облигации осталось 3 года, годовая эффективная доходность к погашению – 16%. Для облигации второго вида: номинальная стоимость – 120 д.е., годовая номинальная купонная ставка – 20%, купонный период – полугодие, до погашения облигации осталось 5 лет, годовая эффективная доходность к погашению – 18,81%.

Требуется определить продолжительность портфеля облигаций, используя в качестве ставки дисконтирования доходности самих облигаций.

Решение. Итак, д.е., , , , , , д.е., , , лет, , .

Для нахождения продолжительности портфеля облигаций будем использовать формулу (2).

Найдем продолжительность облигаций первого и второго вида с помощью формулы (12) главы 4: .

Поскольку для облигаций первого вида купонный период – год, то для облигаций первого вида купонная ставка и эффективная доходность для купонного периода совпадают с годовой номинальной купонной ставкой и годовой эффективной доходностью. Следовательно,

лет.

Для облигаций второго вида купонная ставка для купонного периода равна , эффективная доходность для купонного периода равна . Следовательно,

.

Найдем доли рыночных стоимостей облигаций первого и второго вида в рыночной стоимости портфеля. Для этого вначале найдем цены облигаций по формуле (6) главы 4: .

, .

Теперь мы можем найти продолжительность портфеля облигаций по формуле (2):

Поиск по сайту: