Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации

Пусть некоторый портфель состоит из облигаций видов . Обозначим через количество облигаций вида в портфеле. Тогда, во-первых, в моменты времени портфель генерирует денежные потоки , определяемые формулой

, (23)

и, во-вторых, цена портфеля определяется формулой

. (24)

При оценке рыночной стоимости облигации с помощью (имитирующего) портфеля облигаций видов могут возникнуть две проблемы. Во-первых, имитирующий портфель может не существовать, и во-вторых, имитирующих портфелей может быть несколько, причем их цена может быть разной.

Найдем условия, при которых вышеописанные проблемы отсутствуют, т.е. во-первых, имитирующий портфель существует, и во-вторых, если он не единственен, то цены всех имитирующих портфелей равны.

Поскольку удобнее исследовать данные вопросы, используя матрицы и векторы, введем следующие обозначения.

, , , . (25)

Несложно заметить, что существование имитирующего портфеля для любой облигации означает, что для любого вектора платежей должен существовать такой вектор (количеств облигаций в портфеле), чтобы

, или, что то же самое, , (26)

т.е. множество значений матрицы должно совпадать со всем пространством , что, в свою очередь, равносильно тому, чтобы ранг матрицы был равен n.

Итак, необходимое и достаточное условие существования имитирующего портфеля для любой облигации заключается в равенстве ранга матрицы количеству n платежей облигаций. В дальнейшем будем ссылаться на это условие как на условие 1.

Условие 1. Ранг матрицы платежей облигаций равен количеству n платежей этих облигаций.

Теперь перейдем к вопросу об однозначности оценки рыночной стоимости облигации .

Очевидно, что для однозначности оценки рыночной стоимости облигации необходимо и достаточно, чтобы любые два разные портфели и (с соответствующими векторами и количеств облигаций видов ) имитирующие облигацию (т.е ), стоили одинаково (т.е., чтобы ).

Легко заметить, что это условие равносильно следующему: для любых и , таких что справедливо , или, любого вектора , такого что справедливо , т.е. вектор должен быть ортогонален ядру матрицы . А поскольку ядро матрицы ортогонально множеству значений матрицы , ортогональность вектора ядру матрицы равносильна принадлежности вектора множеству значений матрицы .

Итак необходимым и достаточным условием однозначности оценки рыночной стоимости облигации является принадлежность вектора множеству значений матрицы . В дальнейшем мы будем ссылаться на это условие как на условие 2.

Условие 2. Вектор цен облигаций , принадлежит множеству значений матрицы платежей этих облигаций.

Поиск по сайту: