Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива

Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива заключается в нахождении портфеля , такого, что луч – самый верхний луч множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей.

С помощью портфеля можно построить комбинацию, соответствующую любой точке луча .

Заметим, что луч имеет самый большой угол наклона , а следовательно и , среди всевозможных лучей , .

Вспомним, что равен параметру (который определяется формулой ). Следовательно, задача нахождения оптимального портфеля сводится к максимизации параметра .

Математически задача максимизации параметра записывается следующим образом:

, (60)

, (61)

(62)

В этой оптимизационной задаче в качестве переменных выступают доли , , финансовых активов в портфеле. В качестве целевой функции выступает параметр , который в конечном счете зависит от долей , , (поскольку и ).

Рыночная модель

Заметим, что при решении задач оптимизации портфеля (44)-(47), (48)-(51), (60)-(62) используются ожидаемые доходности финансовых активов, дисперсии и ковариации . При достаточно большом числе видов финансовых активов, общее количество этих параметров становится очень большим ( ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций). При этом основную роль в увеличении количества этих параметров при возрастании числа видов финансовых активов играет количество ковариаций. (Например, при .) Следовательно, решения задач оптимизации портфеля становятся очень громоздкими и трудоемкими при больших количествах видов финансовых активов.

Рыночная модель, рассматриваемая в данном параграфе, позволяет существенно уменьшить количество параметров, используемых при решении задач оптимизации портфеля.

Для того, чтобы описать рыночную модель, нам потребуется понятие рыночного портфеля.

Рыночный портфель – это портфель, в котором присутствуют финансовые активы всех видов, имеющихся в экономике, и в котором доли финансовых активов (в денежном выражении) равны долям финансовых активов в экономике в целом.

Будем обозначать рыночный портфель буквой , доходность рыночного портфеля – через , и стандартное отклонение доходности рыночного портфеля – через .

В соответствии с формулой (17), доходность рыночного портфеля определяется следующим образом:

, (63)

где количество всех видов финансовых активов в экономике, – доля финансового актива i -го вида в экономике в целом.

Замечание 10. На практике рыночный портфель часто заменяют индексным портфелем, содержащим достаточно большое количество финансовых активов, и под рыночной доходностью понимают доходность соответствующего индексного портфеля (например, доходность индекса ).

Рыночная модель имеет следующий вид:

, (64)

где и – константы, зависящие от вида финансового актива, – случайная величина, также зависящая от вида финансового актива.

Основные предположения рыночной модели – следующие:

1) ;

2) ;

3) .

Замечание 11. Первые два предположения рыночной модели – это стандартные предположения линейной регрессии.

Предположения рыночной модели интерпретируются следующим образом. Доходность финансового актива зависит от рыночной доходности (причем ожидаемая доходность финансового актива однозначно определяется ожидаемой рыночной доходностью по формуле: ). Однако, есть факторы, влияющие на доходность финансового актива, которые зависят только от специфики данного финансового актива, причем эти факторы для разных финансовых активов – независимы. Эти факторы описываются случайным отклонением .

Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации между доходностями финансовых активов видов и () справедлива формула:

. (65)

Ковариация по определению равна . Из равенства (64) и условия (1) рыночной модели вытекает, что и . Следовательно,

(66)

Здесь обозначение обозначает дисперсию соответствующей случайной величины. В силу условий (2) и (3) рыночной модели последние три слагаемые правой части равенства (66) равны нулю. Следовательно, равенство (66) сводится к равенству (65).

Формула (67) позволяет значительно уменьшить количество параметров в задачах оптимизации портфеля: вместо ковариаций используется коэффициентов .

Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации доходностей финансового актива и рыночного портфеля справедлива формула:

. (67)

Действительно, из равенства (64) и свойств (1) и (2) рыночной модели следует, что

Из соотношения (67) вытекает, что

. (68)

Замечание 12. С помощью формулы (64) можно определить коэффициент финансового актива также в тех случаях, когда условия рыночной модели не выполняются.

8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие

Рыночная модель позволяет разложить общий риск финансового актива на две составляющие: систематический риск и собственный риск. Систематический риск – это риск, связанный с макроэкономическими факторами. Собственный риск – это риск, связанный с особенностями эмитента финансового актива.

Дисперсия доходности финансового актива (по определению) равна

Из уравнения (64) и из предположения (1) рыночной модели вытекает, что . Следовательно,

(69)

Поскольку, согласно предположению (2) рыночной модели , из (69) следует, что

. (70)

Слагаемое описывает систематический риск, а описывает собственный риск финансового актива.

Покажем, что собственный риск диверсифицируем.

Пусть – некоторый портфель, состоящий из финансовых активов, а , , – доли финансовых активов в портфеле .

Покажем, что в условиях рыночной модели для доходности портфеля имеет место равенство

, (71)

где

, (72)

, (73)

, (74)

причем для выполняются следующие два условия:

, (75)

. (76)

Умножив уравнение (64) на , и просуммировав полученные равенства по , получим:

. (77)

Равенство (71) очевидным образом следует из соотношения (77).

Докажем равенства (75), (76). Действительно, из формулы (74) и условий (1) и (2) рыночной модели следует, что

,

.

Замечание 13. Несложно показать, что параметры , и случайное отклонение , для которых выполняются соотношения (71), (75) и (76), единственны.

Замечание 14. С помощью равенств (71), (75) и (76) несложно показать, что

. (78)

где – ковариация доходностей портфеля и рыночного портфеля. (Доказательство равенства (78) аналогично доказательству равенства (68).)

Из равенств (71), (75) и (76) следует, что

, (79)

Равенство (79) доказывается аналогично равенству (70).

Равенство (79) описывает разложение общего риска портфеля на систематическую и собственную составляющие. – это систематический риск, а – собственный риск портфеля .

Из формулы (74) следует, что

Итак, для дисперсии портфеля мы получили следующую формулу:

. (80)

С помощью формулы (8) докажем, что систематический риск диверсифицируем, т.е. при достаточно большом количестве видов финансовых активов в портфеле можно добиться того, чтобы дисперсия была достаточно малой.

Для простоты предположим, что доли , , финансовых активов в портфеле одинаковы. Тогда , . Поставив в формулу (8), получим

Итак, мы получили следующее неравенство:

(81)

При достаточном большом количестве финансовых активов на рынке можно считать, что . Тогда (при ) из неравенства (81) следует, что при .

Из сходимости при и из формулы (79) следует, что при . Поэтому в финансовом анализе принято считать что в достаточно хорошо диверсифицированном портфеле собственный риск пренебрежимо мал, и общий риск состоит только из систематической составляющей, т.е

. (82)

Общий риск

Систематический риск

Замечание 15. Подставив формулу (73) в равенство (82), получим

. (83)

Формулу (83) удобно использовать для решения задач оптимизации портфеля.

Общий риск

Поиск по сайту: