|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового активаОптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива заключается в нахождении портфеля , такого, что луч – самый верхний луч множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей. С помощью портфеля можно построить комбинацию, соответствующую любой точке луча . Заметим, что луч имеет самый большой угол наклона , а следовательно и , среди всевозможных лучей , .
Вспомним, что равен параметру (который определяется формулой ). Следовательно, задача нахождения оптимального портфеля сводится к максимизации параметра . Математически задача максимизации параметра записывается следующим образом: , (60) , (61) (62) В этой оптимизационной задаче в качестве переменных выступают доли , , финансовых активов в портфеле. В качестве целевой функции выступает параметр , который в конечном счете зависит от долей , , (поскольку и ).
Рыночная модель Заметим, что при решении задач оптимизации портфеля (44)-(47), (48)-(51), (60)-(62) используются ожидаемые доходности финансовых активов, дисперсии и ковариации . При достаточно большом числе видов финансовых активов, общее количество этих параметров становится очень большим ( ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций). При этом основную роль в увеличении количества этих параметров при возрастании числа видов финансовых активов играет количество ковариаций. (Например, при .) Следовательно, решения задач оптимизации портфеля становятся очень громоздкими и трудоемкими при больших количествах видов финансовых активов. Рыночная модель, рассматриваемая в данном параграфе, позволяет существенно уменьшить количество параметров, используемых при решении задач оптимизации портфеля. Для того, чтобы описать рыночную модель, нам потребуется понятие рыночного портфеля. Рыночный портфель – это портфель, в котором присутствуют финансовые активы всех видов, имеющихся в экономике, и в котором доли финансовых активов (в денежном выражении) равны долям финансовых активов в экономике в целом. Будем обозначать рыночный портфель буквой , доходность рыночного портфеля – через , и стандартное отклонение доходности рыночного портфеля – через . В соответствии с формулой (17), доходность рыночного портфеля определяется следующим образом: , (63) где количество всех видов финансовых активов в экономике, – доля финансового актива i -го вида в экономике в целом. Замечание 10. На практике рыночный портфель часто заменяют индексным портфелем, содержащим достаточно большое количество финансовых активов, и под рыночной доходностью понимают доходность соответствующего индексного портфеля (например, доходность индекса ). Рыночная модель имеет следующий вид: , (64) где и – константы, зависящие от вида финансового актива, – случайная величина, также зависящая от вида финансового актива. Основные предположения рыночной модели – следующие: 1) ; 2) ; 3) . Замечание 11. Первые два предположения рыночной модели – это стандартные предположения линейной регрессии. Предположения рыночной модели интерпретируются следующим образом. Доходность финансового актива зависит от рыночной доходности (причем ожидаемая доходность финансового актива однозначно определяется ожидаемой рыночной доходностью по формуле: ). Однако, есть факторы, влияющие на доходность финансового актива, которые зависят только от специфики данного финансового актива, причем эти факторы для разных финансовых активов – независимы. Эти факторы описываются случайным отклонением . Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации между доходностями финансовых активов видов и () справедлива формула: . (65) Ковариация по определению равна . Из равенства (64) и условия (1) рыночной модели вытекает, что и . Следовательно, (66) Здесь обозначение обозначает дисперсию соответствующей случайной величины. В силу условий (2) и (3) рыночной модели последние три слагаемые правой части равенства (66) равны нулю. Следовательно, равенство (66) сводится к равенству (65). Формула (67) позволяет значительно уменьшить количество параметров в задачах оптимизации портфеля: вместо ковариаций используется коэффициентов . Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации доходностей финансового актива и рыночного портфеля справедлива формула: . (67) Действительно, из равенства (64) и свойств (1) и (2) рыночной модели следует, что Из соотношения (67) вытекает, что . (68) Замечание 12. С помощью формулы (64) можно определить коэффициент финансового актива также в тех случаях, когда условия рыночной модели не выполняются.
8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие Рыночная модель позволяет разложить общий риск финансового актива на две составляющие: систематический риск и собственный риск. Систематический риск – это риск, связанный с макроэкономическими факторами. Собственный риск – это риск, связанный с особенностями эмитента финансового актива. Дисперсия доходности финансового актива (по определению) равна Из уравнения (64) и из предположения (1) рыночной модели вытекает, что . Следовательно, (69) Поскольку, согласно предположению (2) рыночной модели , из (69) следует, что . (70) Слагаемое описывает систематический риск, а описывает собственный риск финансового актива. Покажем, что собственный риск диверсифицируем. Пусть – некоторый портфель, состоящий из финансовых активов, а , , – доли финансовых активов в портфеле . Покажем, что в условиях рыночной модели для доходности портфеля имеет место равенство , (71) где , (72) , (73) , (74) причем для выполняются следующие два условия: , (75) . (76) Умножив уравнение (64) на , и просуммировав полученные равенства по , получим: . (77) Равенство (71) очевидным образом следует из соотношения (77). Докажем равенства (75), (76). Действительно, из формулы (74) и условий (1) и (2) рыночной модели следует, что , . Замечание 13. Несложно показать, что параметры , и случайное отклонение , для которых выполняются соотношения (71), (75) и (76), единственны. Замечание 14. С помощью равенств (71), (75) и (76) несложно показать, что . (78) где – ковариация доходностей портфеля и рыночного портфеля. (Доказательство равенства (78) аналогично доказательству равенства (68).) Из равенств (71), (75) и (76) следует, что , (79) Равенство (79) доказывается аналогично равенству (70). Равенство (79) описывает разложение общего риска портфеля на систематическую и собственную составляющие. – это систематический риск, а – собственный риск портфеля . Из формулы (74) следует, что Итак, для дисперсии портфеля мы получили следующую формулу: . (80) С помощью формулы (8) докажем, что систематический риск диверсифицируем, т.е. при достаточно большом количестве видов финансовых активов в портфеле можно добиться того, чтобы дисперсия была достаточно малой. Для простоты предположим, что доли , , финансовых активов в портфеле одинаковы. Тогда , . Поставив в формулу (8), получим Итак, мы получили следующее неравенство: (81) При достаточном большом количестве финансовых активов на рынке можно считать, что . Тогда (при ) из неравенства (81) следует, что при . Из сходимости при и из формулы (79) следует, что при . Поэтому в финансовом анализе принято считать что в достаточно хорошо диверсифицированном портфеле собственный риск пренебрежимо мал, и общий риск состоит только из систематической составляющей, т.е . (82) Общий риск
Систематический риск
Замечание 15. Подставив формулу (73) в равенство (82), получим . (83) Формулу (83) удобно использовать для решения задач оптимизации портфеля. Общий риск
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |