Выпуклость портфеля облигаций определяется по формуле (18) главы 2, т.е

. (5)

Для выпуклости портфеля облигаций справедлива формула:

, (6)

где - выпуклость облигации i -го вида.

Формула (5) доказывается так же само как формула (2).

6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности

Предположим, что ставка дисконтирования зависит только от вида облигации. Тогда для облигаций, входящих в портфель справедлива формула (13) главы 2: . Таким образом,

, . (7)

Из (7) следует, что

, . (8)

Легко заметить, что

. (9)

Подставим (8) в (9):

. (10)

Предположим, что не зависит от вида облигации . Тогда из (10) следует, что

. (11)

Разделив (11) на , получим:

. (12)

Итак, в случае, когда не зависит от вида облигации , для текущей стоимости портфеля облигаций имеет место формула (12).

Замечание. Если в качестве ставок дисконтирования , , выступают доходности самих облигаций, то текущие стоимости облигаций , , равны ценам облигаций, а текущая стоимость портфеля облигаций равна рыночной стоимости портфеля облигаций.

Пример 2. Пусть в условиях примера 1 . Тогда

.

Несложно показать, что в случае, когда не зависит от вида облигации , для текущей стоимости портфеля облигаций имеет место формула:

. (13)

Формула (13) дает более точную оценку для относительного изменения текущей стоимости портфеля облигаций, чем формула (12) (поскольку формула (13) учитывает выпуклость портфеля облигаций). Доказательство формулы (13) аналогично доказательству формулы (12)

6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций

Баланс фирмы состоит из активов и пассивов. Пассивы, в свою очередь, делятся на обязательства и собственный капитал. Обозначим активы, обязательства и собственный капитал через , и , соответственно.

Поскольку активы равны пассивам, то . Отсюда имеем:

. (14)

Существуют два основных метода оценки активов и обязательств:

1) метод, основанный на исторической стоимости (book value), т.е. стоимости, по которой активы и обязательства были приобретены;

2) метод, основанный на рыночной стоимости (market value), т.е. рыночной стоимости активов и обязательств в текущий момент времени.

Мы будем использовать второй метод. Таким образом, будем считать, что – рыночная стоимость активов, – рыночная стоимость обязательств, – рыночная стоимость собственного капитала.

Будем считать, что активы и обязательства финансовой организации состоят из облигаций. (Под облигациями будем понимать любые финансовые инструменты с фиксированными платежами.) Таким образом, активы и обязательства представляют собой портфели облигаций.

Предположим, что не зависит от вида облигаций, входящих в активы и обязательства. Тогда как для активов, так и для обязательств справедлива формула (12). Следовательно,

, (15)

, (16)

где – продолжительность активов, – продолжительность облигаций.

Из формул (15), (16) следует, что

, (17)

. (18)

Из формулы (14) следует, что

. (19)

Подставим (17) и (18) в (19):

. (20)

Обозначим через отношение обязательств к активам:

. (21)

Коэффициент – это так называемый финансовый рычаг.

С учетом (21) формула (20) примет вид:

. (22)

Из формулы (22) следует, что финансовая организация будет защищена от процентного риска, если . Поскольку этого чаще всего невозможно достичь, для защиты от процентного риска используют финансовые производные (опционы и фьючерсы).

Пример 3. Номинальная стоимость и купонный период облигаций, входящих в активы и обязательства финансовой организации, равны, соответственно, 100 д.е. и один год Активы финансовой организации состоят из 400 десятилетних и 600 пятилетних облигаций. Номинальная купонная ставка и эффективная годовая доходность равны, соответственно, 20% и 18% для десятилетних облигаций, и 15% и 14% для пятилетних облигаций. Обязательства финансовой организации состоят из 300 однолетних и 500 трехлетних облигаций. Номинальная купонная ставка и эффективная годовая доходность равны, соответственно, 10% и 11% для однолетних облигаций, и 12% и 13% для трехлетних облигаций. Требуется:

1) Найти рыночную стоимость активов, обязательств и собственного капитала финансовой организации;

2) Найти финансовый рычаг;

3) Найти продолжительность активов и обязательств;

4) Оценить изменение рыночной стоимости собственного капитала при .

Решение.

Вначале найдем цены облигаций:

; ;

; .

Найдем рыночную стоимость активов, обязательств и собственного капитала:

; ; ;

; ; ;

.

Найдем финансовый рычаг: .

Найдем продолжительность активов и обязательств:

лет; лет;

, ;

лет;

год; лет;

, ;

лет.

Оценим изменение рыночной стоимости собственного капитала при с помощью формулы (22):

д.е.

Если мы учтем выпуклость активов и обязательств, с помощью формулы (13) получим:

. (23)

Формула (23) доказывается аналогично формуле (22).

Поиск по сайту: