Выпуклость последовательности платежей

В результате решения примера 9 мы получили, что при увеличении процентной ставки на 1% текущая стоимость последовательности платежей (в условиях примера 1) уменьшится приблизительно на 1,6607%, а при уменьшении процентной ставки на 1% текущая стоимость последовательности платежей увеличится приблизительно на 1,6607%. Сравним полученные результаты с точными значениями.

При увеличении процентной ставки на 1% текущая стоимость примет следующее значение: д.е. и . Следовательно, в этом случае значение найденное по формуле (13) (т.е. –1,6607%) переоценивает уменьшение текущей стоимости.

При уменьшении процентной ставки на 1% текущая стоимость примет следующее значение: д.е. и . Следовательно, в этом случае значение найденное по формуле (13) (т.е. 1,6607%) недооценивает увеличение текущей стоимости.

Эти неточности связаны с выпуклостью вниз текущей стоимости последовательности платежей как функции от процентной ставки. (Выпуклость вниз функции следует из положительности . Действительно, .)

Следовательно, формула (13) (основанная на линейной аппроксимации) переоценивает уменьшение текущей стоимости при увеличении процентной ставки и недооценивает увеличение текущей стоимости при уменьшении процентной ставки.

Чтобы получить более точную формулу (учитывающую выпуклость функции ), воспользуемся тем, что формула , учитывающая вторую производную , точнее оценивает изменение функции , чем формула .

Для функции формула примет вид:

. (16)

Найдем вторую производную .

. (17)

Обозначим выражение буквой C, и в дальнейшем будем называть коэффициентом выпуклости. Итак, коэффициент выпуклости мы определили формулой:

. (18)

С учётом этого обозначения равенство (17) запишется в виде:

. (19)

Подставив выражения (14) и (19) в формулу (16), получим:

. (20)

Разделив соотношение (20) на PV, получим следующую формулу:

. (21)

Пример 10. В условиях примера 1 с учетом выпуклости требуется оценить относительное изменение текущей стоимости последовательности платежей при увеличении и уменьшении эффективной годовой процентной ставки на 1%.

Решение. Итак, , , , , . В результате решения примера 8 была найдена продолжительность данной последовательности платежей: года. Кроме того, в процессе решения примера 8 были найдены доли , и : , , . Найдем коэффициент выпуклости по формуле (18): .

Теперь мы можем оценить относительное изменение текущей стоимости последовательности платежей по формуле (21).

В случае

.

В случае

.

Отметим, что найденные по формуле (21) значения гораздо точнее значений, найденных с помощью формулы (13).

Финансовая рента

Финансовая рента – это последовательность платежей, выплачиваемых через равные промежутки времени. Промежуток времени между двумя последовательными платежами называется рентным периодом. Время от начала первого рентного периода до конца последнего называют сроком ренты.

Пусть t – срок ренты (в годах), – количество рентных платежей в году. Тогда количество всех рентных платежей (которое мы обозначим буквой n) можно найти по формуле:

. (22)

Если число рентных платежей не ограничено (т.е. ), рента называется вечной.

Рента, в которой рентные платежи осуществляются в конце рентных периодов, называется обыкновенной. Если все рентные платежи одинаковы, рента называется постоянной. Мы ограничимся рассмотрением обыкновенных постоянных рент.

Обозначим через R размер рентного платежа. Временная диаграмма платежей обыкновенной постоянной ренты (с конечным числом платежей) имеет вид:

Платежи R R R R

Время 0 1 2 …… n -1 n

(в рентных периодах)

Поиск по сайту: