Продолжительность облигации

Поскольку облигация задает последовательность платежей, понятие продолжительности последовательности платежей (введенное в параграфе 2.4) автоматически переносится на случай облигаций.

Для нахождения формулы для продолжительности облигации воспользуемся формулой (15) главы 2:

.

Напомним, что – это производная PV по r. Найдем .

. (11)

Подставив (10),(11) и (2) в формулу (15) главы 2, после элементарных алгебраических преобразований получим:

. (12)

Отметим, что формула (12) дает продолжительность облигации в купонных периодах. Для того, чтобы получить продолжительность облигации в годах, нужно разделить продолжительность облигации в купонных периодах на число купонных периодов в году, т.е.

. (13)

Пример 5. В условиях примера 4 требуется найти продолжительность облигации (в купонных периодах и в годах).

Решение. Итак, , , . Подставим эти значения в формулу (12):

полугодий.

лет.

С помощью продолжительности облигации можно оценивать относительное изменение текущей стоимости облигации по формуле (13) главы 2:

.

Эта формула также справедлива в случае, если продолжительность облигации выражена в годах, а эффективная внутренняя доходность альтернативных проектов – годовая, т.е.

. (14)

Пример 6. В условиях примера 4 требуется оценить относительное изменение текущей стоимости облигации при увеличении эффективной годовой доходности к погашению альтернативных облигаций на 1%.

Решение. Итак, лет, , . Подставим эти значения в формулу (14):

.

Важно отметить, что в качестве ставки дисконтирования r в формуле (12) вместо эффективной внутренней доходности альтернативных проектов можно брать эффективную доходность к погашению рассматриваемой облигации. В этом случае формулы (13) главы 2 и (14) дают оценку относительного изменения цены рассматриваемой облигации, т.е.

, (15)

. (16)

Пример 7. В условиях примера 2 требуется найти продолжительность облигации, и оценить относительное изменение цены облигации при увеличении эффективной годовой доходности облигации на 1%.

Решение. Итак, , , , , .

полугодий.

лет.

.

Чистые доходности

В финансовом анализе важную роль играют так называемые чистые доходности (англ. pure yield). Чистая доходность – это доходность к погашению бескупонной облигации,т.е. облигации, не выплачивающей купонные платежи (). Чистые доходности играют важную роль для оценки рыночной стоимости облигаций.

Поскольку в случае бескупонной облигации , уравнение (4) принимает вид:

. (17)

Решив это уравнение, получим следующую формулу для нахождения чистой доходности:

. (18)

Отметим, что чистая доходность, найденная по формуле (18) – это эффективная доходность для заданного промежутка времени.

Пример 8. Пусть рыночные цены однолетней и двухлетней бескупонных облигаций с номинальными стоимостями 100 д.е. равны, соответственно, 90,45 д.е. и 78,24 д.е. Требуется найти эффективные годовые чистые доходности для одного года и для двух лет.

Решение. Итак, , д.е., д.е., д.е. (где – цена однолетней бескупонной облигации, – цена двухлетней бескупонной облигации). Обозначим через чистую доходность для одного года, а через чистую доходность для двух лет. Для нахождения и воспользуемся формулой (18).

,

.

В случае, когда срок до погашения бескупонной облигации состоит из нецелого числа периодов времени, уравнение (17) имеет вид:

. (19)

Решив это уравнение, получим:

. (20)

Пример 9. Пусть рыночная цена бескупонной облигации с номинальной стоимостью 100 д.е., до погашения которой остался один месяц, равна 99,32 д.е. Требуется найти эффективную годовую чистую доходность для одного месяца.

Решение. Итак, д.е., д.е., года. Для нахождения чистой доходности воспользуемся формулой (20):

.

означает, что вложение денег в бескупонные облигации, до погашения которых остался один месяц, эквивалентно вложению денег в банк на один месяц при эффективной годовой процентной ставке 8,53%.

Обозначим через чистую доходность для срока t. Последовательность чистых доходностей (при разных сроках t) называют временной структурой чистых доходностей.

Поскольку временную структуру чистых доходностей удобно изображать графически, временную структуру чистых доходностей часто называют кривой чистых доходностей.

Кривая чистых доходностей:

r_t

t

В случае, когда чистые доходности постоянны (т.е. не зависят от срока t), говорят, что временная структура чистых доходностей – плоская.

Отметим, что часто бывает удобно пользоваться непрерывно капитализируемыми чистыми доходностями. Такая доходность (обозначаемая в дальнейшем j) в соответствии с формулой (22) главы 1 определяется уравнением:

. (21)

Решив это уравнение, получим:

. (22)

Пример 10. В условиях примера 9 требуется найти непрерывно капитализируемую чистую доходность.

Решение. Итак, д.е., д.е., года. Для нахождения непрерывно капитализируемой чистой доходности воспользуемся формулой (22).

.

Поиск по сайту: