Форвардные доходности

Вначале рассмотрим понятие форвардных доходностей на примере. Предположим, что инвестор хочет вложить деньги в облигации на два года. Пусть на финансовом рынке имеются однолетние и двухлетние бескупонные облигации с доходностями и , соответственно. Тогда инвестор может вложить деньги в облигации на два года следующими двумя способами:

1) Вложить деньги в двухлетние бескупонные облигации.

2) Вложить деньги в однолетние бескупонные облигации (на один год). Затем, в начале второго года, реинвестировать доход в бескупонные облигации со сроком погашения в конце второго года.

Обозначим начальный капитал инвестора через P. Тогда при первой инвестиционной стратегии доход инвестора в конце второго года составит д.е.

При второй инвестиционной стратегии доход инвестора в конце первого года составит д.е. Поскольку в начале второго года всю эту сумму (в соответствии со второй инвестиционной стратегией) инвестор вкладывает в бескупонные облигации со сроком погашения в конце второго года, доход инвестора составит д.е., где – доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в конце второго года, найденная с помощью рыночной цены таких облигаций в начале второго года. (Заметим, что доходность не известна в начале первого года.) Итак, при второй инвестиционной стратегии доход инвестора в конце второго года составит д.е.

Под форвардной доходностью понимают такое значение доходности , при котором первая и вторая инвестиционная стратегии обеспечивают одинаковый доход в конце второго года, т.е. при котором

. (44)

Итак, форвардная доходность определяется из уравнения (44). Решив это уравнение, получим:

. (45)

Пример 12. В условиях примера 8 требуется найти форвардную доходность .

Решение. В результате решения примера 8 мы получили: , .

Подставив эти значения в формулу (45), получим: .

означает, что если вложить деньги в однолетние бескупонные облигации с доходностью , а затем, в начале второго года, реинвестировать доход в бескупонные облигации со сроком погашения в конце второго года и с доходностью , то полученный в конце второго года доход будет равен доходу, полученному при вложении денег в двухлетние бескупонные облигации с доходностью .

В случае, если на финансовом рынке отсутствуют бескупонные облигации, то при определении форвардной доходности используются доходности синтетических бескупонных облигаций (чистые доходности).

Пример 13. В условиях примера 11 требуется найти форвардную доходность .

Решение. В результате решения примера 11 мы получили значения для чистых доходностей: , . Найдем форвардную доходность по формуле (45):

.

означает, что если вложить деньги в однолетние синтетические бескупонные облигации с доходностью , а затем, в начале второго года, реинвестировать доход в синтетические бескупонные облигации со сроком погашения в конце второго года и с доходностью , то полученный в конце второго года доход будет равен доходу, полученному при вложении денег в двухлетние синтетические бескупонные облигации с доходностью .

Данное выше определение форвардной доходности естественным образом обобщается на случай . А именно, форвардная доходность – это такое значение доходности бескупонных облигаций со сроком погашения в конце периода времени n, найденная с помощью рыночной цены таких облигаций в начале периода , которое обеспечивает одинаковые доходы для следующих двух инвестиционных стратегий:

1) Вложить деньги в бескупонные облигации со сроком погашения в конце периода n.

2) Вложить деньги в бескупонные облигации со сроком погашения в конце периода k. Затем, в начале периода реинвестировать доход в бескупонные облигации со сроком погашения в конце периода n.

В соответствии с данным определением, форвардная доходность находится из уравнения:

, (46)

где – доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в конце периода k, а – доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в конце периода n.

В случае, если на финансовом рынке отсутствуют бескупонные облигации, то при определении форвардной доходности используются доходности синтетических бескупонных облигаций (чистые доходности).

Решив уравнение (46), получим:

. (47)

Иногда при определении форвардных доходностей удобно использовать аппарат, разработанный в случае непрерывной капитализации процента. Дадим определение (непрерывно капитализируемой) форвардной доходности . Форвардная доходность – это такое значение (непрерывно капитализируемой) доходности бескупонных облигаций со сроком погашения в момент времени T, найденная с помощью рыночной цены таких облигаций в момент времени , которое обеспечивает одинаковые доходы для следующих двух инвестиционных стратегий:

3) Вложить деньги в бескупонные облигации со сроком погашения в момент времени T.

4) Вложить деньги в бескупонные облигации со сроком погашения в момент времени и реинвестировать доход (полученный в момент времени ) в бескупонные облигации со сроком погашения в момент времени T.

В соответствии с данным определением, форвардная доходность находится из уравнения:

, (48)

где – непрерывно капитализируемая доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в момент времени , а – непрерывно капитализируемая доходность бескупонных облигаций со сроком погашения в момент времени T.

Очевидным образом уравнение (48) сводится к следующему уравнению:

. (49)

Решив это уравнение, получим:

. (50)

Пример 14. Пусть на финансовом рынке имеются бескупонные облигации, до погашения которых осталось три месяца и пять месяцев. Номинальная стоимость облигаций – 100 д.е. Рыночная цена облигаций, до погашения которых осталось три месяца – 98,01 д.е., а рыночная цена облигаций до погашения которых осталось пять месяцев – 96,54 д.е. Требуется найти форвардную цену бескупонных облигаций, до погашения которых осталось пять месяцев, на конец третьего месяца.

Решение. Итак, д.е., года, года, д.е., д.е.

Вначале найдем непрерывно капитализируемые доходности и по формуле (22).

,

.

Найдем непрерывно капитализируемую форвардную доходность по формуле (50): .

Поиск по сайту: