Сравнительная характеристика методов решения задач оптимизации

При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой опти­мальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации.

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы:

1. Методы исследования функций классического анализа.

Методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа.

Вариационное исчис­ление.

2. Методы исследования функций численного анализа.

2. 1. Линейное программирование.

2.2. Принцип максимума.

2.3. Нелинейное программирование.

2.4. Динамическое программирование.

В последнее время разработан и успешно применяется для реше­ния определенного класса задач также метод геометрического программи­рования.

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, ко­торый можно использовать для решения всех без исключения за­дач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие — менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, методы нелинейного программирования) на определенных этапах решения оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием или принципом максимума. Отметим также, что некоторые методы специально разработаны или наилучшим образом подходят для решения оптимальных задач с математическими моделями определенного вида.

Так, математический аппарат линейного программирования специально создан для решения задач с линейными критериями оптимальности и линейными ограничениями на переменные и позволяет решать большинство задач, сформулированных в такой постановке.

Геометрическое программирование предназначено для решения оптимальных задач, в которых критерий оптимальности и ограничения представляются специального вида функциями — позиномов.

Динамическое программирование хорошо приспособлено для решения задач оптимизации многостадийных процессов, особенно тех, в которых состояние каждой стадии характеризуется относительно небольшим числом переменных состояния. Однако при наличии значительного числа этих переменных, т. е. при высокой размерности каждой стадии, применение метода динамической программирования затруднительно вследствие ограниченных быстродействия и объема памяти вычислительных машин

В табл. 1 дана характеристика областей применения различ­ных методов оптимизации, при этом за основу положена сравни­тельная оценка эффективности использования каждого метода для решения различных типов оптимальных задач. Классификация за­дач проведена по следующим признакам:

1) Вид математического описания процесса;

2) Тип ограничений на переменные процесса;

3) Число переменных.

Предполагается, что решение оптимальной задачи для процессов, описываемых системами конечных уравне­ний, определяется как конечный набор значений управляющих воз­действий (статическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами), а для процессов, описываемых системами обыкно­венных дифференциальных уравнений, управляющие воздействия характеризуются функциями времени (динамическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами) или пространствен­ных переменных (статическая оптимизация процессов с распрелеленными параметрами Классификация задач по группам с числом независимых пере­менных, большим и меньшим трех или равным трем как характе­ристика размерности задач с большим и малым числом перемен­ных, разумеется, весьма условна и в данном случае выбрана скорее, из соображений наглядности графического изображения пространства изменения переменных задачи - фазового простран­ства (при числе переменных большем трех графическое изображе­ние фазового пространства обычными приемами отсутствует) Тем не менее, такая классификация до некоторой степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач с размерностью выше трех. Пространства изменения переменных задачи – фазового пространства (при числе переменных большем трех графическое изображение фазового пространства обычными приемами отсутствует). Тем не менее, такая классификация до некоторой степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач с размерностью выше трех.

Таблица «Области применения методов оптимизации»

Примечания к таблице:

1. Эффективное применение метода.

2. Используется.

3. Возможно применение.

4. Используется как вспомогатель­ный метод.

5. Многостадийные процессы (размерность указывается для отдельной стадии).

6. Задачи с линейными критериями оптималь­ности и линейными ограничениями.

7. Используются множители Лагранжа.

8. Задачи с критериями и ограничениями в форме позиномов.

Поиск по сайту: