Задача. На множест­ве решений системы неравенств

На множест­ве решений системы неравенств

+ ≤ 36;

найти глобальные экстремумы функции .

Решение. На рис. 1 множество допустимых реше­ний заштриховано. Это мно­жество выпукло. Линиями уров­ня функции z = 2х + у являют­ся параллельные прямые с уг­ловым коэффициентом К = - 2. Очевидно, что глобальный ми­нимум достигается в точке О(0; 0), а глобальный макси­мум— в точке А касания пря­мой уровня и окружности х² ± y² = 36. Найдем координа­ты точки А. Для этого доста­точно составить уравнение пря­мой l и решить систему, со­стоящую из уравнения прямой и уравнения окружности. За­метим, что прямая l перпенди­кулярна линии уровня, а, следо­вательно, ее угловой коэффици­ент К₁ равен (К₁К = — 1). Прямая l проходит через точку Ои имеет угловой коэффициент

К ₁ = .

Рис. 1

Поэтому ее уравнение таково : у = .

Решая систему

+ = 36;

у = ,

получаем

Итак, глобальный минимум, равный 0, достигается в точке О (0;0), а глобальный максимум, равный 6 , — в точке А (2,4- ; 1,2* ). Локальных экстремумов, отличных от глобальных, функция не достигает.

Поиск по сайту: