Корневые показатели

Рассмотрим, как влияет на переходной процесс расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего порядка.

Характеристическое уравнение имеет три корня и соответствующее решение выглядит так:

.

Будем иметь ввиду устойчивую систему, то есть все корни имеют отрицательную действительную часть.

Для действительных корней кривая у (t) переходного процессамонотонная, рис. 6.3.

Если два корня комплексных и один действительный, причем действительный расположен ближе к мнимой оси, а комплексные дальше, то кривая переходного процессаприобретает слабо выраженную колебательность, рис. 6.4.

Если комплексные корни располагаются вблизи мнимой оси, а действительный дальше, переходной процесс приобретает ярко выраженный колебательный характер, рис.6.5. Чем ближе комплексные корни к мнимой оси, тем медленнее затухают колебания, тем длительнее переходной процесс (больше время t_p). Чисто мнимые корни дают незатухающие гармонические колебания.

Найдем условие, при котором регулируемая величина у (t) станет меньше в m раз за время регулирования. То есть, у (t) уменьшится до величины порога нечувствительности Δ.

Рис. 6.3. Монотонная кривая переходного процесса.

0 t

6.4. Апериодический процесс с колебательной составляющей.

0 t

Рис. 6.5. Затухающий колебательный процесс.

Для заданного времени t_p требуется, чтобы корни р_i имели отрицательную действительную часть s менее некоторой отрицательной величины a, рис. 6.6.

V y (t)

y (0) = C

a

Рис. 6.6. Рис. 6.7.

Пусть время регулирования t_p обеспечивается корнем çs ê= a. Влиянием остальных корней пренебрегаем. Соответствующая этому корню кривая переходного процесса представлена на рис. 6.7. Она имеет уравнение

y (t) = Ce^{- at}.

В начальный момент y (0) = C. В момент времени t_p кривая пересечет порог нечувствительности. В точке М, где кривая пересекается с прямой y = D

.

Величина y (t_p) станет меньше в m раз по сравнению с величиной в начальный момент. То есть,

.

То есть,

.

Логарифмируя, получаем:

Значит, величина действительной части корня, обеспечивающего заданное время регулирования, должна быть:

. (6.6)

Формула (6.6.) дает приближенную оценку a, потому что остались без внимания другие слагаемые полного решения уравнения.

Параметр a называют «запас устойчивости» или «степень устойчивости». Это абсолютное значение действительной части ближайшего к мнимой оси корня.Чем меньше a, тем ближе система к границе устойчивости, тем больше время регулирования. При a = 0 (система на границе устойчивости) время регулирования становится бесконечно большим.

Рассмотрим еще одну характеристику распределения корней: угол q между отрицательной полуосью абсцисс и прямой, проведенной из начала координат к корню с максимальной мнимой частью, рис. 6.8. В этот угол вписывается половина всех наиболее удаленных от мнимой оси корней. Корень с максимальной мнимой частью дает наибольший вклад в колебания. Величину

(6.7)

называют колебательностью системы или коэффициентом затухания системы. Чем меньше угол q, тем меньше колебательность.

V

0 U

Рис. 6.8.

Найти время регулирования для трех характеристических уравнений:

2 p ² + p + 1 = 0,

p ² +2 p + 1 = 0,

p ² + p + 2 = 0.

Требуется, чтобы управляемая величина уменьшилась за время регулирования в е раз. (е = 2,718).

1. Корни уравнения 2 p ² + p + 1 = 0 будут:

p ₁ = -0,25 + j 0,66, p ₂ = -0,25 – j 0,66.

т.е. a = 0,25. .

2. Корни уравнения p ² +2 p + 1 = 0 будут:

p ₁ = -1, p ₂ = -1.

т.е. a = 1, t_p = 1 c.

3. Корни уравнения p ² + p + 2 = 0 будут:

p ₁ = -0,5 + j 1,32, p ₂ = -0,5 – j 1,32

т.е. a = 0,5, t_p = 2 c.

Для переходной функции инерционного звена:

найти, через какое время t _* величина h (t) будет отличаться от своего предельного значения на e единиц?

Предельное значение – это k единиц (при t = ∞)

Решение должно подчиняться условию h = k - e при t = t _* Введем его в переходную функцию

и получим: e = kexp(- t _*/ T). Посредством логарифмирования находим:

.

Поиск по сайту: