Пример 5.14

Дано характеристическое уравнение вида:

.

Требуется найти значения Т, при которых система будет устойчивой.

Назначив Т параметром, выделим :

Полагая получаем:

.

Запишем действительную и мнимую части:

Анализ формул показывает:

- при w = 0 U = ¥, V = ¥;

- при w = 1 U = 1, V = 0; кривая V (U) пересекает действительную ось;

- при w = ¥ U = 0, V = -¥;

Кривая начинается в +¥, пересекает ось абсцисс и неограниченно приближается к мнимой оси, уходя в -¥.

Для уточнения хода кривой V (U) можно взять точки:

w = 0,5, U = 4, V = 1,5.

w = 2, U = 0,25, V = -1,5;

, U = 0,5 V = -0,7;

w = 0,82, U = 1,5, V = -0,4.

Построив на плоскости U, V кривую для положительных частот, отображаем ее зеркально относительно действительной оси и получаем кривую для отрицательных частот, рис. 5.26. Нанеся штриховку, получаем область устойчивости. Устойчивость системы обеспечивают те значения параметра l, которые располагаются на отрезке действительной оси от 1 до ¥. Контрольная проверка по критерию Гурвица подтверждает вывод.

V

1.5

1

0.5

2 3 4 U

-0.5

-1

-1.5 w → 0

w → + ∞

Рис. 5.26

Дано характеристическое уравнение вида

.

Требуется найти интервал значений параметра λ, при которых САР будет устойчивой.

Записав

и положив p = jω, получаем комплексный параметр λ в виде

.

Выделяем действительную и мнимую части:

, .

Задаем ω и рассчитываем U и V для построения кривой V (U):

Построив кривую для положительных w, дополняем ее зеркально отображенной (для отрицательных ω). Результат показан на рис. 5.27.

V

3

2 w = - 0

w = - ∞

-2 w = + 0

-3

Рис.5.27.

Вывод: САР устойчива при значениях λ, принадлежащих интервалу

0 < l < 5. Границе устойчивости отвечают λ = 0 и λ = 5.

Контрольная проверка по критерию Гурвица: все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля, определитель a ₁ a ₂ - a ₀ a ₃ > 0.

Поиск по сайту: