Критерий Михайлова

Устойчивость системы выясняется по характеристическому полиному передаточной функции:

D (p) = a ₀ pⁿ + a ₁ p^{n -1} + …+ a _n-1 p + a_n, (2.5)

где n – степень полинома.

Полагая p = jw, преобразуем характеристический полином в комплексный частотный полином:

D (jω) = a₀(jω)ⁿ + a₁(jω)^n-1 +…+ a_n-1(jω) + a_n.

В зависимости от степени числа (jω)ⁿ оно либо действительное, либо мнимое. По этой причине частотный полином распадается на действительную часть U (ω) и мнимую часть V (ω):

D (jω) = U (ω) + j V (ω), (5.7)

U (ω) = a_n - a_n-2ω² + a_n-4ω⁴ - … (5.8)

V (ω) = a_n-1ω - a_n-3ω³+a_n-5ω⁵ -…. (5.9)

U (ω) – четная функция ω, V (ω) – нечетная функция ω. По этому признаку полиномы (5.8) и (5.9) можно назвать «четный» и «нечетный».

Задавая какое-либо значение частоты w ₁, из (5.8) и (5.9) получим числа U (w ₁) и V (w ₁). Вместе они образуют комплексное число D (jw ₁). На комплексной плоскости оно обозначается точкой М(U, V), рис. 5.1. Множество точек М(U, V), отвечающих разным частотам, образуют кривую, которая называется годографом Михайлова.

Рассмотрим годографы Михайлова для устойчивых систем.

В случае устойчивых систем годограф Михайлова имеет свойство начинаться с точки U (0) = a_n, V (0) = 0, рис. 5.1. По мере увеличения w от нуля до бесконечности, точка М(U, V) перемещается влево так, что кривая стремится охватить начало координат, одновременно удаляясь от него. Если провести радиус-вектор из начала координат в точку М(U, V), то окажется, что радиус-вектор будет поворачиваться против часовой стрелки, непрерывно увеличиваясь. Непрерывно увеличивается и угол, который он образует с осью абсцисс. Представив комплексное выражение (5.7) в экспоненциальной форме,

,

обнаруживаем, что радиус-вектор есть модуль комплексного частотного полинома | D (jw)|, а угол j (w) – аргумент. Модуль имеет величину , аргумент равен .

Вид годографа Михайлова зависит от степени n характеристического полинома (2.5). Годографы полиномов первых четырех степеней показаны на рис. 5.2. Они соответствуют устойчивым системам. Анализ годографов устойчивых систем позволяет сделать выводы, которые и составляют содержание критерия Михайлова.

Можно дать три формулировки критерию Михайлова.

Первая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке a_n,последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n -м квадранте, - система устойчива.

V(w) V

n = 2

n = 1

n = 3

V M(U, V)

	j

n = 4

Рис.5.1. Рис. 5.2.

Вторая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности вектор комплексного частотного полинома D (jw) последовательно поворачивается против часовой стрелки на угол n (p/2), где n – степень характеристического полинома, и нигде не становится нулем, - система устойчива.

Обратим внимание на частоты, при которых годограф пересекает оси координат. Назовем их «частоты пересечения». Первая частота нулевая, с нее начинается годограф. При w ₁ = 0 U (0) = a_n, V (0) = 0. Вторая отвечает точке пересечения годографом положительного отрезка оси ординат, U (w ₂) = 0, V(w ₂) – некоторое число. Непрерывно увеличивая частоту, при некоторой, равной w ₃, получим пересечение годографа с отрицательной частью оси абсцисс. Очевидно, четвертым будет пересечение с отрицательной частью оси ординат при частоте w ₄. Далее последуют частоты пересечения w ₅, w ₆, …, w_n. Все они действительные положительные числа, каждое последующее больше предыдущего.

Третья формулировка критерия Михайлова: если частоты пересечения годографа с осями координат чередуются и образуют возрастающую последовательность вида ω ₁ < ω ₂ < ω ₃ <…< w_n, - система устойчивая.

В отличие от предыдущих, третья формулировка позволяет исследовать устойчивость системы без построения годографа, аналитически. Соображения следующие.

Каждому пересечению годографом действительной оси (когда V (w) = 0) будет соответствовать корень нечетного полинома V (w). Каждому пересечению мнимой оси (когда U (w) = 0) будет соответствовать корень четного полинома U (w). Следовательно, по мере увеличения w корни полиномов V (w) и U (w) для устойчивой системы должны чередоваться (корень полинома V (w) сменяется корнем полинома U (w) и т.д.); корень каждого последующего пересечения оси должен быть больше предыдущего, все корни должны быть действительными. Общее число корней равно степени характеристического полинома.

В случае неустойчивых систем кривые не охватывают начало координат, чередования частот нечетного и четного полиномов нет, рис. 5.3.

V

V

n = 3 n = 4

n = 4 n = 3

n = 1

Рис. 5.3. Рис. 5.4.

Если годограф начинается из начала координат или проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости, рис. 5.4.

Построить годограф Михайлова для характеристического уравнения

2 p + 1 = 0.

Имеем: D (jw) =1 + j 2 w, U (w) = 1, V (w) = 2 w, | D (jw)| = , tg j = 2 w. Полагая V (w) = 0, получаем начало годографа: | D (jw)| = 1. В пределах 0 £ w £¥ угол меняется от j = 0 до j = p/2, т.е. вектор D (jw) поворачивается против часовой стрелки один раз на p/2. При этом, V (w) растет, а U (w) остается равным 1. Годограф получается в виде прямой, параллельной мнимой оси, рис. 5.5.

Рис. 5.5. n = 1. Рис. 5.6. n = 2.

Выяснить устойчивость системы с характеристическим уравнением второй степени

9 p ² + 4 p + 2 = 0.

Комплексный частотный полином, его действительное и мнимое слагаемые имеют вид:

D (jw) = - 9 w ² + j 4 w + 2,

U (w) = 2 – 9 w ²,

V (w) = 4 w.

Полагая V (w) = 0, находим: первая частота пересечения w ₁ = 0. Годограф начинается в точке U (w ₁) = 2. Пересечение годографа с мнимой осью задается уравнением U (w) = 0. Находим: вторая частота пересечения w ₂ = ~0,47. Ордината пересечения V (w ₂) ~ 1,9. Во втором квадранте, с увеличением частоты, годограф уходит в бесконечность. График показан на рис. 5.6.

Годограф проходит первый квадрант и уходит в бесконечность во втором. Вектор D (jw) поворачивается на угол, равный степени характеристического уравнения, умноженной на p/2: Корни действительные, w ₁ < w ₂ и требование последовательного возрастания частот пересечения выполняется. Следовательно, система устойчива.

Поиск по сайту: