Параметру

Изучение метода D - разбиения начнем с выяснения влияния на устойчивость одного параметра. При заданных значениях других параметров. Обозначим параметр символом . Это может быть коэффициент характеристического уравнения, или сочетание коэффициентов. Например, в уравнении

Можно назвать параметром T ₁, T ₂, T ₃, k.

Допустим, сделан выбор l = T ₂. Тогда уравнение примет вид

l (T ₁² p ³ + T ₃ p ²) + T ₁ (k+ 1 )p+k = 0.

Полином, который умножается на l, обозначим Q (p), остальную часть S (p). Уравнение примет общий вид:

l Q (p) + S (p)=0. (5.4)

Представив уравнение (5.4) в виде

, (5.5)

получаем как функцию переменной p.

Чтобы построить границы области устойчивости, полагаем

p = jw. Тогда l (p) становится комплексным числом:

l (jω) = - U (ω)+ jV (ω) (5.6)

Если теперь задавать ω от 0 до +¥, вектор l (jω) вычертит некоторую кривую на комплексной плоскости U, V. Эта кривая отображает на плоскость U, V мнимую ось комплексной плоскости корней, то есть будет границей, по одну сторону которой k корней, по другую n - k.

Если задавать ω от 0 до -¥, получится зеркальное отображение кривой для + ω. Поэтому кривую рассчитывают для положительных ω, а затем дополняют зеркальным отображением относительно действительной оси.

Чтобы разобраться, по какую сторону находятся k корней, область D - разбиения выделяется штриховкой. Соображения следующие.

При движении по мнимой оси в плоскости корней (рис. 5.23) от до та область, в которой находятся все корни устойчивости будет все время слева. Она показана штриховкой.

V

Корни

устойчивости

w ® -¥

Рис. 5.23. Рис. 5.24

Требуется, чтобы и в плоскости область устойчивости находилась слева от кривой D-разбиения, если двигаться от к . Левая сторона кривой штрихуется.

Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рисунке 5.24. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь.

Параметр по физическому смыслу есть величина действительная, поэтому для расчетов используется только отрезок действительной оси, охваченной кривыми со штриховкой внутрь:

от точки 1 до точки 2. (рис. 5.24).

Дано характеристическое уравнение:

.

Пусть параметром будет , одно из значений которого =1 проставлено в уравнении. Надо найти, в каком интервале изменений характеристическое уравнение отвечает устойчивой системе автоматического регулирования.

Из уравнения:

выделим: l (p) = - p ³ - p ² - p. Полагая p = jw, находим:

,

,

Полагая V (w) = 0, найдем частоты и точки пересечения кривой с осью абсцисс: w ₁ = 0, U (0) = 0, w ₂ = 1, U (1) = 1. Неограниченно увеличивая w выясним, что U ® ¥ и V ® ¥, кривая уходит в бесконечность в верхней правой полуплоскости. В интервале 0 < w < 1 U < 1 и V < 0. Для промежуточных значении U и V ход кривой уточняется заданием соответствующих частот. По совокупности данных строится кривая D -разбиения для положительных частот и дополняется зеркальным отображением. Наносится штриховка слева при движении по кривой от -¥ к +¥.

Результат показан на рис. 5.25. Интервал устойчивых значений l есть отрезок действительной оси от 0 до 1.

Контрольная проверка по критерию Гурвица для l = 0,5.

0,5 1

Рис. 5.25

Записываем характеристическое уравнение:

p ³ + p ² + p + 0,5 = 0.

Коэффициенты: a ₀ = 1, a ₁ = 1, a ₂ = 1, a ₃ = 0,5. Действительно,

a ₁ a ₂ - a ₀ a ₃ > 0, система устойчива.

Поиск по сайту: