АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Устойчивость системы по Гурвицу выясняется с помощью характеристического уравнения. Составляется специальный определитель – определитель Гурвица. Правило следующее

Читайте также:
  1. I. Формирование системы военной психологии в России.
  2. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  3. II. Экономические институты и системы
  4. III. Решение логических задач с помощью рассуждений
  5. IV. Механизмы и основные меры реализации государственной политики в области развития инновационной системы
  6. SCADA-системы
  7. SCАDA-системы: основные блоки. Архивирование в SCADA-системах. Архитектура системы архивирования.
  8. TRACE MODE 6: компоненты инструментальной системы
  9. А). Системы разомкнутые, замкнутые и комбинированные.
  10. А. И. Герцен – основатель системы вольной русской прессы в эмиграции. Литературно-публицистическое мастерство
  11. Абиотические компоненты экосистемы.
  12. Абстрактные линейные системы

Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты: a 1, a 3, a 5. По главной диагонали, начиная с коэффициента a 1, слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями.

Определители Гурвица 5-го, 4-го, 3-го и 2-го порядков выглядят следующим образом.

n = 5 n = 4 n = 3 n = 2

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители были положительными.

Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.

1. Характеристическое уравнение 2-й степени:

a0p2+a1p+a2 = 0.

Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:

= a 1 a 2- a 0 · 0 = a 1 a 2. D2 = a 1 a 2.

Условие устойчивости: a 0, a 1, a 2 > 0; D2 > 0, т.е. a 1 a 2 > 0.

2. Характеристическое уравнение 3-й степени:

a 0 p 3 + a 1 p 2 + a 2 p + a 3 = 0.

 

Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:

= a 1(a 2 a 3 - a 10) - a 3(a 0 a 3 - 0 · 0) + 0(a 0 a 1 - a 2 · 0).

Δ3 = a 1 a 2 a 3 - a 0 a 23.

Условие устойчивости: a 0, a 1, a 2, a 3 > 0; Δ3 > 0, или, сокращая на a 3, a 1 a 2a 0 a 3 > 0.

3. Характеристическое уравнение 4-й степени:

a 0 p 4 + a 1 p 3 + a 2 p 2 + a 3 p + a 4 = 0.

Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:

= а 1 - а 3 + 0 – 0.

Δ4 = a 1 a 2 a 3 a 4 a 21 a 24a 0 a 23 a 4.

Условие устойчивости: a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 > 0, Δ4 > 0, или сокращая на a 4, a 1 a 2 a 3 - a 21 a 4 - a 0 a 23 > 0.

4. Характеристическое уравнение 5-й степени:

a 0 p 5 + a1p 4 + a 2 p 3 + a 3 p 2 + a 4 p + a 5 = 0.

Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условие устойчивости:

a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 > 0,

(a 1 a 2a 0 a 3)(a 3 a 4a 2 a 5) – (a 1 a 4a 0 a 5)2 > 0.

Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.

Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)