Cферичнi хвилі

Явища розповсюдження хвиль таких, як світло, звук або пружних, описуються хвильовим рівнянням. Для розуміння фізичного смислу хвильових рівнянь проаналізуємо їх рішення.

Спочатку розглянемо простий ідеалізований випадок „одномірної хвилі”, коли положення точки або інша властивість залежить від одної координати х і часу t. Така функція U(x,y)задовольняє хвильовому рівнянню виду

. (4.25)

Для знаходження загального рішення перейдемо до нових незалежних змінних

, .

Знайдемо похідні функції :

;

;

і підставимо їх в рівняння (4.25). В результаті отримаємо хвильове рівняння:

(4.26)

загальним рішенням якого є функція . Оскільки (4.26) є наслідком (4.25), то загальним рівнянням (4.26) буде функція

; (4.27)

де функція описує хвильовий процес, який розповсюджується в напрямі осі х, а функція - хвилю, яка рухається в зворотному напрямі.

Знайдемо частковий розв’язок хвильового рівняння, який задовольняє початковим умовам

Перша умова дає рівняння

(4.28)

Для другої умови отримаємо диференційне рівняння

інтегрування якого дає

(4.29)

З врахуванням (4.28) та (4.29) частковий розв’язок хвильового рівняння буде таким

(4.30)

Поиск по сайту: