Хвильові рівняння з дисипативним членом
Для розгляду хвиль в реальних середовищах поставимо наступні умови:
1. Будемо рахувати, що рішенням хвильового рівняння є функція зміщення
, (6.1)
де w - частота коливань, К - комплексне хвильове число* .У свою чергу К = k - іa, де k - дійсна частина хвильового числа, a - коефіцієнт затухання, і – уявна одиниця.
2. Дисперсійне співвідношення для даної моделі хвильового рівняння повинно бути дійсним.
3. Коефіцієнт хвильового рівняння перед другою просторовою похідною дорівнює добутку групової та фазової швидкостей:
Ці три умови є достатньо природними. Так для ідеально пружного середовища маємо хвильове рівняння
, (6.2)
а дисперсійне співвідношення для (6.2)
. (6.3)
По умові 2 уявна частина (6.3) дорівнює нулю, звідки коефіцієнт затухання дорівнює нулю, а фазова та групова швидкість між собою рівні , що відповідає умові 3. Як і слід було очікувати, затухання та дисперсія хвиль у ідеально пружному середовищі відсутні.
*Тут і далі аргументи поля зміщень U(t,х) для спрощення
опускаємо.
Одним з найпростіших хвильових рівнянь для диспергуючих середовищ є рівняння Клейна-Гордона
. (6.4) 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | Поиск по сайту:
|