Распределение молекул по координатам

В этом разделе мы перейдем теперь к анализу распределения молекул газа по координатам. Очевидно, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то газ равномерно распределен по заданному объему. В этом случае давление и плотность газа одинаковы во всех точках. Если же газ находится в силовом поле (как, например, атмосферный воздух, который испытывает притяжение Земли), то давление и плотность газа уже не будут всюду одинаковыми, а будут меняться от точки к точке.

Барометрическая формула. Найдем закон, по которому изменяется давление атмосферы (или плотность воздуха) по мере удаления от поверхности Земли. Выделим вертикальный столб воздуха с площадью горизонтального сечения S.

Предположим, что

· этот столб находится в тепловом равновесии, то есть температура везде одинакова (в реальной атмосфере это не так, но для простоты анализа будем предполагать Т=const);

· газ идеальный, то есть для него справедливо уравнение Клапейрона-Менделеева

· можно пренебречь изменением ускорения свободного падения g с высотой (что справедливо для не очень больших высот).

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть на высоте h давление р,тогда на высоте h+dh давление р+dp (рис. 3.5). При этом, если dh>0, то давление уменьшается, dp<0, так как уменьшается вес вышележащих слоев атмосферы.

Рис. 3.5.Вертикальный воздушный цилиндр (к выводу барометрической формулы)

Выделенный слой газа, высотой dh и массой т, находится в равновесии. Следовательно, сумма действующих на него сил должна быть равна нулю:

В проекциях на вертикальную ось получаем

(3.45)

где r - плотность газа на высоте h. Раскрывая скобки иприводя подобные члены, переходим к уравнению

(3.46)

Воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева для выделенной массы газа т и выразим плотность через давление:

(3.47)

Подставляя (3.47) в (3.46), окончательно получаем

(3.48)

Это уравнение можно проинтегрировать в случае изотермической атмосферы (Т=const):

(3.49)

Постоянная интегрирования р₀ равна давлению на поверхности (h=0). Полученная зависимость называется барометрической формулой. Она описывает распределение давления газа по высоте в однородном поле тяжести при постоянной температуре. Следует обратить внимание на то, что распределение зависит от рода газа. Чем меньше m, тем меньше по абсолютной величине показатель степени, и тем медленнее для такого газа уменьшается давление при увеличении высоты. На рис. 3.6 показаны зависимости давления от высоты при температуре Т=300 К (27ґС) для трех газов различной молярной массы - водорода Н₂ (m₁ = 2.016 г/моль), азота N₂ (m₂=28.013 г/моль) и кислорода 0₂ (m₃=31.999 г/моль).

Рис. 3.6. Зависимость давления трех разных газов Н₂, N₂ и O₂ от высоты

Поиск по сайту: