|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Теория теплоемкости твердых тел ДебаяП. Дебай предположил, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных между собой атомов, обладающих 3N степенями свободы. Каждая степень свободы (нормальное колебание) может быть представлена как гармонический осциллятор, среднюю энергию которого <e> мы уже вычислили (см. (7.6)). Из-за связи между атомами частоты нормальных колебаний уже не совпадают между собой. Взаимодействие атомов приводит к тому, что колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна. Эта волна, дойдя до границы кристалла, отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна, которой соответствует нормальное колебание кристаллической решетки. Число dN нормальных колебаний, то есть стоячих волн, в интервале частот от w до w+dw велико, поэтому суммирование в выражении для внутренней энергии системы может быть заменено интегрированием:
Число колебаний в единице объема. В этом разделе мы займемся подсчетом числа стоячих волн, имеющих близкие частоты w. В сущности, мы проделали уже эти выкладки ранее для электромагнитного излучения, но повторим их снова с небольшими модификациями для применения также и к упругим колебаниям в кристалле. Рассмотрим сначала одномерный потенциальный ящик длиной 1х. Мы могли уже убедиться, что стоячая волна в нем (неважно, электромагнитная ли, звуковая или волна де Бройля), описывается функцией sin (kx), которая должна обращаться в нуль на границах ящика. Отсюда
Число пх нумерует различные стоячие волны вдоль оси х, и потому на малый интервал волнового вектора dkх приходится число колебаний
Двойку в знаменателе мы поставили, чтобы избежать двойного счета: замена kх на - kх приводит к той же стоячей волне. В трехмерном ящике для волн, распространяющихся по другим осям, получаем аналогичные формулы
Перемножая (7.11) и (7.12), находим для полного числа стоячих волн в ящике объемом V=lxlylz
Наконец, учтем, что каждой стоячей волне может соответствовать g поляризаций (для волн де Бройля, соответствующих частицам со спином s, имеем g=2s+1 - число различных проекций спина). Окончательно имеем
Формула (7.14) дает число различных стоячих волн (отличающихся числом узлов и направлениями поляризации) в объеме V, приходящихся на элемент объема d3k пространства значений волнового вектора. Далее, для перехода к частотам волн вспомним соотношение
Мы вывели формулу (7.15) для прямоугольного объема, но можно показать, что форма объема не влияет на результат. Не имеет большого значения и физическая природа колебаний, число которых мы подсчитали. Например, для фотонов v=с и g=2 (свет может иметь правую и левую циркулярные поляризации). В итоге получаем уже известную нам формулу для числа типов фотонов в объеме V в интервале частот dw:
Для применения (7.15) к звуковым волнам в кристалле учтем, что там возможна одна продольная волна, распространяющаяся со скоростью v||, и две поперечные волны с разными поляризациями, как у фотонов, распространяющиеся со скоростью v |. Очевидно теперь, как обобщить формулу (7.15) на данный случай:
Здесь мы ввели величину v, играющую роль некого среднего между скоростями продольных и поперечных волн; она вычисляется из соотношения
Характеристическая температура Дебая. Подставляя (7.17) и (7.6) в выражение (7.9) для внутренней энергии, получаем
где wMAX - максимальная частота нормальных колебаний, которая определяется из соотношения
так как полное число нормальных колебаний равно числу степеней свободы. Используя (7.17), находим
где п - концентрация атомов (их число в единице объема кристалла). Таким образом, максимальная частота нормальных колебаний, называемая дебаевской частотой, равна
Следует отметить, что наименьшая длина упругой волны в кристалле, которая соответствует максимальной частоте wMАХ, равна
Где Используя определение (7.22) и учитывая, что для одного моля кристалла концентрация атомов равна
Дифференцируя внутреннюю энергию U по температуре, можно получить молярную теплоемкость кристалла:
Введем новый параметр - характеристическую температуру Дебая
и выполним в интеграле (7.25) замену переменных
При низких температурах Т<<qD верхний предел интеграла будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности. Тогда интеграл будет представлять собой число
и теплоемкость окажется пропорциональной кубу температуры:
Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая и хорошо согласуется с экспериментом при достаточно низких температурах Т<<qD. При высоких температурах Т>>qD экспонента в числителе приближенно равна единице, а экспоненту в знаменателе можно разложить в ряд Тейлора:
Тогда для молярной теплоемкости получается значение
то есть закон Дюлонга и Пти. О согласии теории Дебая с опытом можно судить по графику рис. 7.1, на котором показаны экспериментальные точки для некоторых веществ. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |