АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теория теплоемкости твердых тел Дебая

Читайте также:
  1. ERG – теория Альдерфера
  2. I. Теория естественного права
  3. I.1.5. Философия как теория и
  4. V. Социологическая теория
  5. V2: Специальная теория относительности
  6. А) Теория иерархии потребностей
  7. Административная теория А. Файоля
  8. Аналитическая теория личности
  9. АТОМНАЯ ФИЗИКА. БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА
  10. Безработица и ее виды. Теория естественной безработицы. Конъюнктурная безработица. Закон Оукена.
  11. Безработица и социальное поведение: теория и опыт социологических исследований
  12. Билет 1(Эволюция взглядов на предмет экономической теории. Микроэкономика и макроэкономика. Экономическая теория и экономическая политика.)

П. Дебай предположил, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных между собой атомов, обладающих 3N степенями свободы. Каждая степень свободы (нормальное колебание) может быть представлена как гармонический осциллятор, среднюю энергию которого <e> мы уже вычислили (см. (7.6)). Из-за связи между атомами частоты нормальных колебаний уже не совпадают между собой. Взаимодействие атомов приводит к тому, что колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна. Эта волна, дойдя до границы кристалла, отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна, которой соответствует нормальное колебание кристаллической решетки. Число dN нормальных колебаний, то есть стоячих волн, в интервале частот от w до w+dw велико, поэтому суммирование в выражении для внутренней энергии системы может быть заменено интегрированием:

  (7.9)

Число колебаний в единице объема.В этом разделе мы займемся подсчетом числа стоячих волн, имеющих близкие частоты w. В сущности, мы проделали уже эти выкладки ранее для электромагнитного излучения, но повторим их снова с небольшими модификациями для применения также и к упругим колебаниям в кристалле.

Рассмотрим сначала одномерный потенциальный ящик длиной 1х. Мы могли уже убедиться, что стоячая волна в нем (неважно, электромагнитная ли, звуковая или волна де Бройля), описывается функцией sin (kx), которая должна обращаться в нуль на границах ящика. Отсюда

  (7.10)

Число пх нумерует различные стоячие волны вдоль оси х, и потому на малый интервал волнового вектора dkх приходится число колебаний

  (7.11)

Двойку в знаменателе мы поставили, чтобы избежать двойного счета: замена kх на -kх приводит к той же стоячей волне. В трехмерном ящике для волн, распространяющихся по другим осям, получаем аналогичные формулы

  (7.12)

Перемножая (7.11) и (7.12), находим для полного числа стоячих волн в ящике объемом V=lxlylz



  (7.13)

Наконец, учтем, что каждой стоячей волне может соответствовать g поляризаций (для волн де Бройля, соответствующих частицам со спином s, имеем g=2s+1 - число различных проекций спина). Окончательно имеем

  (7.14)

Формула (7.14) дает число различных стоячих волн (отличающихся числом узлов и направлениями поляризации) в объеме V, приходящихся на элемент объема d3k пространства значений волнового вектора. Далее, для перехода к частотам волн вспомним соотношение

где v - фазовая скорость волны. Отсюда

и окончательно получаем

  (7.15)

Мы вывели формулу (7.15) для прямоугольного объема, но можно показать, что форма объема не влияет на результат. Не имеет большого значения и физическая природа колебаний, число которых мы подсчитали. Например, для фотонов v=с и g=2 (свет может иметь правую и левую циркулярные поляризации). В итоге получаем уже известную нам формулу для числа типов фотонов в объеме V в интервале частот dw:

  (7.16)

Для применения (7.15) к звуковым волнам в кристалле учтем, что там возможна одна продольная волна, распространяющаяся со скоростью v||, и две поперечные волны с разными поляризациями, как у фотонов, распространяющиеся со скоростью v|. Очевидно теперь, как обобщить формулу (7.15) на данный случай:

  (7.17)

Здесь мы ввели величину v, играющую роль некого среднего между скоростями продольных и поперечных волн; она вычисляется из соотношения

  (7.18)

Характеристическая температура Дебая.Подставляя (7.17) и (7.6) в выражение (7.9) для внутренней энергии, получаем

  (7.19)

где wMAX - максимальная частота нормальных колебаний, которая определяется из соотношения

  (7.20)

так как полное число нормальных колебаний равно числу степеней свободы. Используя (7.17), находим

  (7.21)

где п - концентрация атомов (их число в единице объема кристалла). Таким образом, максимальная частота нормальных колебаний, называемая дебаевской частотой, равна

‡агрузка...
  (7.22)

Следует отметить, что наименьшая длина упругой волны в кристалле, которая соответствует максимальной частоте wMАХ, равна

  (7.23)

Где
- расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке. Этот результат согласуется с тем, что волны, длины которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не могут существовать в кристалле.

Используя определение (7.22) и учитывая, что для одного моля кристалла концентрация атомов равна

где па - число атомов в молекуле вещества кристалла, мы можем записать внутреннюю энергию одного моля в виде

  (7.24)

Дифференцируя внутреннюю энергию U по температуре, можно получить молярную теплоемкость кристалла:

  (7.25)

Введем новый параметр - характеристическую температуру Дебая

  (7.26)

и выполним в интеграле (7.25) замену переменных

Тогда молярную теплоемкость кристалла можно записать в виде

  (7.27)

При низких температурах Т<<qD верхний предел интеграла будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности. Тогда интеграл будет представлять собой число

и теплоемкость окажется пропорциональной кубу температуры:

  (7.28)

Эта приближенная зависимость известна как закон Дебаяи хорошо согласуется с экспериментом при достаточно низких температурах Т<<qD.

При высоких температурах Т>>qD экспонента в числителе приближенно равна единице, а экспоненту в знаменателе можно разложить в ряд Тейлора:

Тогда для молярной теплоемкости получается значение

  (7.29)

то есть закон Дюлонга и Пти.

О согласии теории Дебая с опытом можно судить по графику рис. 7.1, на котором показаны экспериментальные точки для некоторых веществ.


Рис. 7.1.Сравнение теории теплоемкости Дебая с экспериментальными данными: показаны вещества с заметно различающимися значениями дебаевской температуры и разным составом молекул (па=2 для NaCl и па=4 для Nb3Al), но все точки лежат достаточно близко от теоретической кривой


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)