АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Неразличимость тождественных частиц

Читайте также:
  1. Aufgabe 4. Везде ли нужна частица “zu”?
  2. V2: Дуализм свойств микрочастиц. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
  3. V2: Элементарные частицы
  4. Адгезия – притяжение частиц из разных фаз.
  5. Античастицы. Аннигиляция.
  6. Волновые свойства свободных частиц
  7. Вопрос 61 Волновые свойства микрочастиц
  8. Гипотеза де Бройля. Свойства микрочастиц. Волна де Бройля
  9. Движение заряженной частицы в магнитном поле.
  10. Движение заряженных частиц в магнитном поле.
  11. Задача на движение или равновесие заряженной частицы в электрическом поле.
  12. Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям их теплового движения. Средние скорости теплового движения частиц.

Две частицы тождественны, если все их физические свойства в точности совпадают, что исключает возможность экспериментально различать их. В классической теории всегда предполагается, что мы можем в принципе проследить за движением частиц и сказать, какая из них куда полетела. Поэтому в классической теории даже тождественные частицы в принципе различимы. В квантовой механике это не так: принцип неопределенности не позволяет прослеживать траектории и, стало быть, неразличимость частиц имеет принципиальный характер и влияет на результат вычислений.

Пусть, например, система из двух частиц описывается гамильтонианом (оператором энергии)

и пусть система находится в состоянии с волновой функцией

Введем оператор

переставляющий частицы местами, то есть обменивающий их радиусы-векторы:

  (7.31)

Математически тождественность частиц выражается в инвариантности (неизменности) гамильтониана относительно операции перестановки

этих частиц, что в квантовой механике записывается как условие коммутации операторов

то есть

  (7.32)

Это условие обеспечивает физическую неразличимость частиц, поскольку тогда волновая функция y( r 2, r 1) будет также решением уравнения Шредингера с тем же значением энергии. Действительно, если

и мы подействуем на обе части этого уравнения оператором коммутации

то получим

Из-за условия коммутации мы можем пронести оператор коммутации через гамильтониан:

и наше уравнение примет вид

Но мы помним, что коммутирование операторов с гамильтонианом означает сохранение их собственных значений. Найдем собственные значения р оператора коммутации. Для этого надо решить уравнение

  (7.33)

С учетом определения (7.31) оператора коммутации, записываем это уравнение в виде

  (7.34)

Снова подействуем на обе части (7.34) оператором перестановки частиц:

  (7.35)

Из (7.34) и (7.35) получаем, что

  (7.36)

то есть р= + 1. Таким образом, оператор коммутации может иметь только два собственных значения. При р=1 волновая функция симметрична относительно операции перестановки частиц:

При р=-1 имеем антисимметричную волновую функцию:

Таким образом, мы получили важный результат:

Волновые функции системы двух тождественных частиц могут быть либо четными, либо нечетными относительно операции перестановки частиц местами.

Справедливо обобщение этого результата:

Состояния системы тождественных частиц либо симметричны, либо антисимметричны относительно перестановки любых двух из них.

Какое состояние реализуется - зависит от природы рассматриваемых частиц.

Частицы с симметричными состояниями называются бозонами,с антисимметричными - фермионами.

Ранее этими именами мы называли частицы с целым и полуцелым спинами, соответственно. В релятивистском уравнении Дирака, в отличиe от уравнения Шредингера, спин частиц возникает автоматически. Существует фундаментальная теорема Паули:

Частицы с полуцелым спином (s=1/2, 3/2 и т. д.) описываются антисимметричными волновыми функциями, а с целым (s=0, 1, 2 и т. д.) - симметричными.

Эта теорема о связи спина со статистикой является следствием объединения квантовой механики с теорией относительности.

Обратимся для примера к состоянию двух атомных электронов. В пренебрежении взаимодействием между ними волновая функция распадается на произведение волновых функций каждого электрона по отдельности:

Индексы i, j обозначают здесь полный набор квантовых чисел (n, l, т, s), которыми одно состояние отличается от другого. Меняя электроны местами, приходим к состоянию с той же энергией, описываемому волновой функцией

Поэтому в силу принципа суперпозиции возможны состояния, описываемые любой линейной комбинацией этих двух функций, причем все они будут иметь ту же энергию. Однако мы теперь знаем, что для электронов со спином s=1/2 физический смысл имеет лишь антисимметричная комбинация

  (7.37)

Если состояния электронов одинаковы (i=j, то есть совпадают все квантовые числа), то

Мы снова пришли к принципу Паули:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)