Характерные скорости молекул

В этом разделе приводятся некоторые следствия, вытекающие из формул (3.29) и (3.30). В качестве примера на рис. 3.3 изображены две кривые, соответствующие распределениям f(v) молекул кислорода O₂ по абсолютным величинам скоростей при температурах Т₁=300 К и Т₂=1 300 К.

Рис. 3.3. Распределение молекул кислорода по скоростям при разных температурах T₁=300 К и T₂=1 300 К

Наиболее вероятная скорость. При бесконечно малых и неограниченно больших значениях скоростей функция распределения стремится к нулю

то есть такие предельные значения скоростей маловероятны в системе. Следовательно, при каком-то значении скорости функция f(v) достигает своего максимума.

Ее можно найти, решая уравнение

откуда следует, что

(3.31)

Иными словами, наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. В этой точке f(v) принимает максимальное значение:

(3.32)

Соотношения (3.31), (3.32) могут быть полезны для анализа изменения функции распределения при изменении температуры газа или при изменении рода газа, то есть массы молекул.

С ростом температуры наиболее вероятная скорость v_ВЕР (3.31) увеличивается, то есть максимум функции f(v) сдвигается вправо (см. рис. 3.3), Т₂>Т₁. При этом f(v_ВЕР) уменьшается, то есть кривая становится более пологой. Так же деформируется кривая, если температура постоянна, но масса молекул уменьшается. Напомним, что при любых деформациях функции распределения f(v) площадь под кривыми постоянна и равна единице в соответствии с формулой (3.30).

Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение v₀, определяется выражением

(3.33)

На графике (см. рис. 3.3) этому интегралу соответствует лежащая справа от v₀ часть площади (отмечена штриховкой), ограниченная кривой f(v) и осью скоростей. Как видно из рис. 3.3, относительное количество молекул, имеющих скорости, превышающие v₀, растет с повышением температуры.

В заключение этого раздела заметим, что во всех формулах для функции распределения и характерных скоростей встречается отношение массы молекулы к постоянной Больцмана

Умножая числитель и знаменатель на число Авогадро N_A и учитывая, что

- молярная масса газа, a

- универсальная газовая постоянная, мы всюду можем использовать это отношение в наиболее удобной для конкретной задачи форме

Распределение молекул по величинам безразмерной скорости. Если при графическом изображении функции распределения Максвелла (3.29) по оси абсцисс откладывать скорости молекул v, то форма кривой и положение максимума будут зависеть от массы молекул и от температуры газа. Но если по горизонтальной оси откладывать отношение скорости к наиболее вероятной скорости, то есть безразмерную скорость

то для всех температур и любых масс молекул (любых газов) получится одна и та же кривая (рис. 3.4).

Рис. 3.4.Распределение Максвелла по величинам безразмерной скорости

Сделав замену переменной

в (3.29) и учитывая, что

получим распределение Максвелла в форме

(3.34)

Эта формула и соответствующий ей график (см. рис. 3.4) удобны для решения многих задач.

Поиск по сайту: