|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Статистика Бозе-Эйнштейна
Рассмотрим теперь систему тождественных бозонов. В этом случае число ni частиц в состоянии i может принимать любое значение от 0 до,бесконечности (или от 0 до N при фиксированном числе частиц). Рассмотрим какое-то конкретное состояние k системы с энергией Еk. Тогда для вероятности, что в этом состоянии окажутся п частиц, получаем из основного соотношения (7.38)
где
Сумма W(n) по всем значениям п (включая и нулевое) равна вероятности того, что в состоянии k окажется какое-то количество частиц или не окажется ни одной. Очевидно, такая сумма должна быть равна единице:
Здесь мы использовали формулу
для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии при
Теперь легко найти нормировочную постоянную:
и полное выражение для вероятности W(n). Нас интересует в первую очередь среднее число частиц в состоянии k, которое по смыслу вероятностей выражается как
Сумму ряда вида
нетрудно вычислить дифференцированием по q выражения (7.46):
Левая часть (7.48) может быть записана в виде
Вместе с (7.48) это приводит к результату:
Подставляя
находим
откуда следует основное соотношение квантовой статистики Бозе-Эйнштейна:
Разница по сравнению с соответствующей формулой (7.42) для фермионов имеется только в знаке перед единицей в знаменателе. Из-за этого нельзя теперь утверждать, что среднее число частиц в данном состоянии всегда меньше единицы: принцип Паули не распространяется на бозоны. По физическому смыслу все пk > 0, следовательно, m<Е0, где Е0 - минимальная энергия системы (то есть энергия основного уровня). Для свободных частиц величина Е0 равна нулю. Отсюда следует, что для свободных бозонов химический потенциал отрицателен. По-прежнему имеется уравнение связи m и N в случае фиксированного числа частиц:
При высоких температурах Если в системе число частиц не фиксировано, а определяется условиями равновесия (например, равновесие излучения с веществом, когда фотоны поглощаются и испускаются), то m=0. Применяя (7.51) к системе фотонов и учитывая, что для фотонов
приходим к формуле (7.15) и ее аналогу для фононов (7.30). Заметим, что при
обе формулы (7.42) и (7.51) переходят в классическое распределение Больцмана. В этом случае
что можно интерпретировать как условие малой плотности частиц, то есть как квантовый аналог разреженного газа: в каждом квантовом состоянии фактически находится не более одной частицы. Значит, не существенно не только прямое взаимодействие частиц, но и их квантовое влияние друг на друга, обменные эффекты. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |