Основные этапы формулировки задачи

А.В. Михайлов

Конспект лекций по дисциплинам

«Оптимизация управления» для студентов специальности 220301

и «Оптимальное управление технологическими объектами»

для студентов специальности 220201

УТВЕРЖДЕНО

Президиум НМС МГУПП

Москва 2009

УДК 681.513.5

ББК 32.965

Рецензенты:

Прокофьев Е.А. – зав. каф. «КИП и СА» МГУПП, профессор;

Семина Н.А. – доц. каф. «Автоматизация биотехнологических процессов» МГУПБ

Михайлов А.В. Конспект лекций по дисциплинам «Оптимизация управления», «Оптимальное управление технологическими объектами»: Учебное пособие – М.: Издательский комплекс МГУПП, 2009,-92с.

Учебное пособие содержит в сжатой форме полный объем информации, необходимой студентам для изучения соответствующих дисциплин, начиная с методов постановки и решения одномерных задач оптимизации и заканчивая изложением вопросов вариационного исчисления, необходимых для решения задач оптимизации динамики сложных технологических объектов и процессов. Подробно рассмотрены постановка и подход к решению типовых задач оптимального управления технологическими процессами.

Предназначено для студентов специальностей 220201 и 220301.

Рис. 42, табл. 1, библиогр.:3 назв.

УДК 681.513.5

ББК 32.965

1. Формулировка, структура и классификация
оптимизационных задач.

Основные понятия и определения.

При постановке задачи оптимизации сначала в словесной форме формируется критерий оптимальности, т.е. определяется тот показатель оптимизируемого процесса или объекта, на основании которого будет производиться сравнительная оценка возможных решений и выбор наилучшего, с точки зрения принятого критерия.

Для решения оптимизационной задачи ее необходимо формализовать, т.е. перейти от словесной постановки задачи к математической, для чего необходимо выразить принятый критерий оптимальности в виде математического выражения, величина которого зависит от значений входящих в него переменных:

I=F(),

где I – обозначение критерия оптимальности;

=(Х₁, Х ₂,…, Х _n) – вектор варьируемых переменных, т.е. показателей оптимизируемого процесса или объекта, от которых зависит значение критерия оптимальности;

F – вид математической зависимости (функция или функционал), связывающей критерий оптимальности с варьируемыми переменными.

Целью оптимизации является нахождение таких значений переменных, которые обеспечивают экстремальное, т.е. максимальное или минимальное значение критерия оптимальности в зависимости от смысла поставленной задачи. Так, очевидно, что производительность агрегата или аппарата следует максимизировать, а себестоимость выпускаемой продукции минимизировать.

Часто при математической постановке задачи оптимизации вместо обозначения критерия оптимальности – I_* используется обозначение целевой функции - .

Различие между понятиями критерий оптимальности и целевая функция достаточно расплывчато. Можно сказать, что обозначение критерия оптимальности применяется тогда, когда варьируемые переменные, выражены в физических единицах, а обозначение целевой функции , когда эти физические единицы (скорость, давление, расход, температура, и т. д.) заменены на математические Х₁, Х₂,…,Х_n, или, когда оптимизационная задача с самого начала представляет собой абстрактную математическую задачу.

Однако данное определение применимо не всегда. Так в задачах оптимизации многостадийных процессов и оптимизации функционала применяются оба этих обозначения – I и , причем в этих задачах критерий оптимальности I представляет собой некую совокупность (сумму или интеграл) целевых функций .

Рассмотрим в качестве примера постановку задачи проектирования оптимального грузового автомобиля. Очевидно, что основным показателем такого автомобиля, является его грузоподъемность, которая зависит от большого количества различных параметров (длина, ширина, высота автомобиля, его вес и прочность, зависящие в свою очередь от материала, используемого при изготовлении, мощность двигателя, расход горючего и его качество и т.д.).

Оптимизационная задача в рассматриваемом примере может быть сформулирована следующим образом: подобрать параметры грузовика таким образом, чтобы обеспечить максимум его грузоподъемности, т.е. критерием оптимальности в данной задаче является грузоподъемность, а варьируемыми переменными все параметры, от которых она зависит.

Однако очевидно, что мы не можем бесконечно увеличивать ни размеры грузовика, ни его вес, ни мощность двигателя. Также мы должны при проектировании обеспечить приемлемую цену грузовика, обеспечить нормальные условия для его управления и т.д.

Таким образом, на все варьируемые переменные, от которых зависит значение критерия оптимальности, должны быть наложены ограничения, сформулированные таким образом, чтобы полученное решение задачи имело практический смысл.

Из рассмотренного примера можно сделать два вывода:

1. Для математической постановки задачи оптимизации требуется сформулировать критерий оптимальности или целевую функцию и ограничения, накладываемые на варьируемые переменные, от которых зависит значение критерия.

2. Оптимальным решением задачи является решение, обеспечивающее экстремум выбранного критерия оптимальности, при выполнении ограничений, накладываемых на варьируемые переменные, от которых зависит значение критерия, а вовсе не «самое лучшее решение», как часто принято считать на бытовом уровне.

Значения варьируемых переменных, которые удовлетворяют всем ограничениям, предусмотренным в задаче, называются допустимыми. Их совокупность представляет собой множество или, по-другому, область допустимых значений варьируемых переменных D:

В общем случае множество Dсостоит из ограничений трех видов:

где n-число варьируемых переменных, входящих в критерий оптимальности.

Отметим, что здесь и в дальнейшем нижний индекс _* и верхний индекс ^* обозначают минимально и максимально допустимые значения варьируемых переменных.

Выражение (1.1.) представляет собой ограничения, накладываемые на каждую из переменных в отдельности и называется автономными ограничениями.

Выражения (1.2) и (1.3) представляют собой ограничения, накладываемые на совокупность переменных, причем j_j() и y_k() могут представлять собой функции любого вида в зависимости от конкретной задачи оптимизации.

Выражение (1.2), задаваемое в форме равенств называется ограничениями типа связи, а выражение (1.3), задаваемое в форме неравенств – функциональными ограничениями.

Необходимо отметить обязательность условия m<n, т.е. число уравнений связи в оптимизационной задаче всегда меньше числа варьируемых переменных критерия оптимальности.

Действительно, в случае m³n из уравнения связи всегда можно выделить систему из n уравнений с n неизвестными. Решив эту систему, мы найдем все допустимые для данной задачи значения варьируемых переменных, которые и будут оптимальными, т.е. оптимизационная задача при m³n сводится к чисто математической задаче решения системы уравнений.

На основании выше изложенного можно сформулировать следующее определение. Решить оптимизационную задачу значит найти значения варьируемых переменных , обеспечивающих экстремум (max или min в зависимости от смысла задачи) критерия оптимальности I или целевой функции и удовлетворяющих области (множеству) допустимых значений варьируемых переменных D. Область D также называют областью (множеством) допустимых решений оптимизационной задачи.

Заметим, что данное определение справедливо только в случае, если критерий оптимальности представляет из себя функцию одной или нескольких переменных. Если же критерием оптимальности является функционал, то решением оптимизационной задачи будет функция, обеспечивающая экстремум функционала (см. раздел 1.4).

Основные этапы формулировки задачи.

Правильной постановке оптимизационной задачи способствует использование стандартной последовательности основных этапов формализации.

1-й — словесная постановка задачи,

2-й — введение обозначений для варьируемых переменных (желательно с указанием их размерности),

3-й — запись в принятых обозначениях критерия оптимальности, как функции от варьируемых переменных,

4-й — выделение множества допустимых значений варьируемых переменных D,

5-й – замена физических значений варьируемых переменных на математические . В этом случае обозначение критерия оптимальности I заменяется на обозначение целевой функции , как было указано выше. Естественно, смысл и условия оптимизационной задачи при этом никоим образом не меняется. Пятый этап не является обязательным при постановке задачи и может не проводиться.

Проиллюстрируем изложенную выше последовательность постановки задач на примерах.

Поиск по сайту: