Критерий оптимальности

В задачах, где переменными являются составляющие некоторого вектора, критерий оптимальности представляет собой функцию нескольких переменных, а в задачах, где искомым решением является функция, критерий оптимальности является функционалом. Функционал представляет собой функцию, аргументом которой является другая функция от независимой переменной, т.е. . Обычно в вариационных задачах функционал выражается в виде определенного интеграла от функции, аргументом которой является время. Целью решения вариационной задачи является нахождение такой подынтегральной конкретной функции, которая обеспечивает оптимум (максимум или минимум) интеграла.

Пусть критерий оптимальности представляет собой функцию одной переменной, которая достигает max при X = X ⁰ (Рис. 1.5)

Очевидно, что функция достигает минимума при том же X=X⁰, а величина минимума равна по модулю величине максимума и отличается только знаком, т.е. , .

Рис. 1.5

Из этих соотношений следует, что любую оптимизационную задачу можно сформулировать как определение максимумаI или минимума(-I). Причем для изменения формулировки задачи достаточно поменять знаки в критерии оптимальности. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении общих принципов решения оптимизационных задач ограничимся лишь задачами на максимум, хотя конкретные примеры возможны и на минимум.

Оптимизационная задача должна иметь единственный критерий.

Если по смыслу задачи имеется несколько показателей, которые хотелось бы улучшить, то возможно:

1. Выбрать наиболее важный в качестве критерия и ограничить остальные некоторыми допустимыми значениями, максимальными или минимальными в зависимости от их смысла.

Например. Определить режим работы, при котором производительность установки максимальна, а себестоимость продукции не превышает допустимого значения.

2. Объединить несколько показателей в единый критерий с соответствующими весовыми коэффициентами.

, где - j -ый показатель, - коэффициент веса, причем

Более подробно второй подход к формулировке оптимизационных задач рассмотрен в разделе 8.

Оптимальным решением называют такой элемент множества допустимых решений D, для которого критерий принимает max значение, т.е.

, .

Элемент называют max критерия оптимальности, а величину - значением задачи.

Задачи оптимизации разбиваются на две группы:

1. Задачи об оптимальном решении (аргументные задачи), целью которых является нахождение значения аргумента, обеспечивающего max критерия оптимальности, т.е. нахождения .

2. Задачи об оптимальном значении (критериальные задачи), целью которых является нахождение максимума критерия оптимальности, т.е. нахождения .

Различие между данными задачами появляется тогда, когда условия задачи заданы приближенно и существуют неточности при численном решении.

Оптимизационная задача имеет решение, если:

1.Критерий I определен на множестве D, т.е. каждому соответствует единственное значение критерия.

2.Значение критерия I при ограничено сверху.

3.Множество допустимых значений D должно содержать больше одного элемента.

Простейшим решением множества D в случае целевой функции одной переменной является множество рациональных чисел, которые геометрически можно представить как точки, составляющие отрезок цифровой оси.

Рис. 1.6

Если точка X⁰, претендующая на максимум, находится внутри D, то для нее допустимы вариации DХ любого знака. Для граничных точек X⁰= X_* и X⁰= X^* знак вариации определен: для верхней точки DХ<0, для нижней DХ>0, т.к. при противоположных знаках значение X выйдет из области допустимых значений D (рис. 1.6).

Поиск по сайту: