Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент

Кратко рассмотрим методики расчета наращенных сумм и современных стоимостей для некоторых разновидностей постоянных рент. Постоянные ренты с непрерывным поступлением платежей рассматриваются в параграфе 4.7.

Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов. Напомним, что под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Различие между рентами постнумерандо и пренумерандо заключается в числе периодов начисления процентов. Легко понять, что каждый член последней из указанных рент "работает" на один период больше, чем в ренте постнумерандо. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее как больше в (1 + i) раз аналогичной ренты постнумерандо.

Таким образом,

Аналогичным путем получим для годовой ренты с начислением процентов m раз в году:

Для p -срочной ренты получим:

Точно такая же зависимость наблюдается и между современными стоимостями рент постнумерандо и пренумерандо:

и т. д.

Соответствующие зависимости получим и для коэффициентов приведения. Так,

Пример 4.16. Воспользуемся данными примера 4.12 (вариант a). Пусть теперь фонд создается на основе взносов пренумерандо. Имеем: = 100, = (100 / 7,4416) х 1,2 = 11,198 млн. руб. Напомним,что при взносах в конце каждого года требуется вносить по 13,438 млн. руб.

Важным частным случаем является рента с платежами в середине периодов. Например,в случаях, когда поступления от производственных инвестиций распределяются более или менее равномерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым смещениям в значении получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступлений за период относить к середине периодов. Наращенныесуммы и современные стоимости таких рент находим умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнумерандо на множитель наращения за половину периода. Так, для современных стоимостей находим следующие соотношения:

p = 1, m = 1 A _1/2 = A (1 + i)^1/2; p = 1, m > 1 A _1/2 = A (1 + j / m) ^{m /2};

p > 1, m = 1 A _1/2 = A (1 + i)^{1/2 p} ; p > 1, m > 1 A _1/2 = A (1 + j / m) ^{m /2 p} .

Отложенные ренты. Началовыплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело современная стоимость ренты. Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна A. Современная стоимость на начало периода отсрочки, равного t лет, очевидно, равна дисконтированной величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты:

_tA = Av^t = Ra_{n ; i}v^t, (4.43)

где _tA — современная стоимость отложенной ренты.

Пример 4.17. Пусть в примере 4.8 рента выплачивается не сразу, а спустя полтора года после момента оценки. Современная стоимость отложенной ренты составит в этом случае _1,5 A = 12,368 х х 1,185^-1,5 = 9,588 млн. руб.

Современная стоимость отложенной ренты используется при решении целого ряда задач. Обсудим одну из них. Пусть годовая рента постнумерандо делится между двумя участниками (допустим, что речь идет о наследстве или о другом виде передачи собственности). Рента имеет параметры: R, п. Условия деления: а) каждый участник получает 50% капитализированной стоимости ренты; б) рента выплачивается последовательно сначала первому участнику, затем второму. Решение задачи сводится к расчету срока получения ренты первым участником, обозначим ее как n ₁.

Как видим, первый участник получает немедленную ренту, второй — отложенную на n ₁ лет. Из принятых условий деления ренты следует:

Учитывая, что n ₂ = n - n ₁, находим:

После ряда преобразований получим:

Результат решения зависит только от общего срока ренты и процентной ставки, которая учитывается в расчете.

Пример 4.18. Срок годовой ренты постнумерандо 10 лет, i = 20%. Пусть рента делится между двумя участниками на тех условиях, которые были приняты выше при выводе формулы. Тогда

Доля второго участника в общем сроке ренты — следующие семь лет.

Вечная рента. Напомним, что под вечной рентой понимается ряд платежей, количество которых не ограничено — теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда есть смысл прибегнуть к такой абстракции, например, когда предполагается, что срок потока платежей очень большой и конкретно не оговаривается. Например, при актуарном оценивании пенсионных фондов (определении их способности отвечать по своим обязательствам перед участниками). Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна бесконечно большой величине. На первый взгляд представляется бессодержательным и определение современной стоимости такой ренты. Однако это не так. Современная величина вечной ренты определяется просто. Выше было показано (см. формулу (4.15)), что пределом для коэффициента приведения при является = 1 /i. Отсюда для вечной ренты находим:

(4.44)

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зависит только от размера члена ренты и процентной ставки. Из формулы (4.44) следует:

(4.45)

т.е. член вечной ренты равен проценту от ее капитализированной стоимости.

Нетрудно убедиться в том, что отдаленные платежи оказывают весьма малое влияние на величину коэффициента приведения. С ростом n прирост этого показателя уменьшается (рис. 4.2). В силу сказанного при больших сроках ренты и высоком уровне ставки для определения современной стоимости можно воспользоваться формулой (4.44) без заметной потери в точности. Например, при i = = 20%, n = 100 и R = 1 точное значение A = 4,999999, а по формуле (4.44) получим 5.

Для других видов рент находим:

Пример 4.19. Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 5 млн. руб., выплачиваемых в конце каждого месяца. Капитализированная стоимость такой ренты при условии, что при ее определении применена ставка 25% годовых, составит:

= 42,361 млн. руб.

Рента с периодом платежей, превышающим год. В анализе производственных инвестиционных проектов иногда встречаются ренты, члены которых выплачиваются с интервалами, превышающими год. Определим наращенную сумму и современную стоимость таких рент.

Пусть r — временной интервал между двумя членами ренты, проценты начисляются раз в году. В этом случае современная стоимость первого платежа составит на начало ренты величину Tv^r, второго — Tv ^{2 r} и т. д., для последнего члена — Tvⁿ, где T — величина члена ренты, n — срок ренты, кратный r. Последовательность дисконтированных платежей представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом Tv^r, знаменателем v^r и числом членов n/r. Сумма членов такой прогрессии при условии, что T = 1, равна

Разумеется, соотношение коэффициентов приведения и наращения можно использовать в случаях, когда r — целое число лет.

Пример 4.20. Сравниваются два варианта строительства некоторого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млрд. руб. и капитального ремонта стоимостью 0,8 млрд. руб. каждые пять лет. Для второго затраты на создание равны 7 млрд. руб., на капитальный ремонт — 0,4 млрд. руб. каждые десять лет. Временной горизонт, учитываемый в расчете, — 50 лет. Капитализированная сумма затрат при условии, что i = 10%, оценивается для каждого варианта в следующих размерах:

Таким образом, в финансовом отношении варианты оказываются равноценными при принятом уровне процентной ставки. Чем ставка выше, тем меньше влияют на результат затраты на ремонт. Так, если сравнение производится при ставке 20%, то получим A ₁ = 6,39, A ₂ = 7,05.

Поиск по сайту: