Пример 2.22

а) постоянный темп инфляции на уровне, скажем, 10% в месяц за год приводит к росту цен в размере J_p = 1,1¹² = 3,1384, таким образом, годовой темп инфляции равен 213,84%, а не 120%;

б) последовательный прирост цен по месяцам составил 25; 20 и 18%.

Индекс цен за три месяца согласно формуле (2.40) равен 1,25 х 1,2 х 1,18 =1,77. Темп инфляции за три месяца составил 77%.

Вернемся к проблеме обесценения денег при их наращении. В общем случае теперь можно записать:

(2.42)

Если наращение производится по простой ставке, имеем:

(2.43)

Как видим, увеличение наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место только тогда, когда 1 + ni > J_p.

Пример 2.23. Допустим, на сумму 1,5 млн. руб. в течение трех месяцев начисляются простые проценты по ставке 50% годовых (K = 360). Наращенная сумма равна 1,6875 млн. руб. Если ежемесячная инфляция характеризуется темпами, приведенными в примере 2.22,б, то с учетом обесценения наращенная сумма составит всего 1,6875/1,77 = 0,9534 млн. руб.

Обратимся теперь к наращению по сложным процентам. Подставив в формулу (2.42) значения S и J_p, находим

(2.44)

Величины, на которые умножается Р в формулах (2.43) и (2.44), представляют собой множители наращения с учетом инфляции.

Посмотрим теперь, как влияют ставка процента i и темп инфляции h на величину C. Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции равен ставке процентов, то роста реальной суммы не произойдет: наращение будет поглощаться инфляцией и, следовательно, С = Р. Если же h /100 > i, то наблюдается "эрозия" капитала, его реальная сумма будет меньше первоначальной. Только в ситуации, когда h /100 < i происходит реальный рост (рис. 2.8).

Возникает вопрос: при какой процентной ставке наращение будет только компенсировать инфляцию? Если речь идет о простых процентах, то, приравняв множитель наращения с учетом инфляции в формуле (2.43) к единице, находим минимально допустимую (барьерную) ставку:

Для сложных процентов искомую ставку определим на основе формулы (2.44). Получим i * = h. Ставку, превышающую i *, называют положительной ставкой процента.

Пример 2.24. По данным примера 2.23 найдем минимально допустимую величину ставки. Напомним, что индекс цен за три месяца был равен 1,77.

= 3,08, или 308% годовых.

Таким образом, только ставка, превышающая 308 % годовых, будет в данных условиях приносить реальный доход.

Владельцы денег, разумеется, предпринимают различные попытки для компенсации обесценения денег. Наиболее распространенной является корректировка ставки процентов, по которой осуществляется наращение, т.е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии, иначе говоря, производится индексация ставки. Итоговую величину можно назвать брутто-ставкой. (В западной финансовой литературе такую ставку часто называют номинальной. Однако этот термин уже "занят" — см. параграф 2.3.)

Обсудим методы определения брутто-ставки. Если речь идет о полной компенсации инфляции в размере брутто-ставки при начислении простых процентов, то необходимую величину находим из равенства

,

где r — брутто-ставка.

Отсюда

(2.45)

Пример 2.25. По данным примеров 2.23 и 2.24 получим

Таким образом, простая ставка, равная 396,5% годовых, не только компенсирует инфляцию, но и обеспечивает реальную доходность, равную 50% годовых.

Величину брутто-ставки для наращения по сложной ставке процента находим из равенства

.

Отсюда

. (2.46)

На практике ставку, скорректированную по темпу инфляции, часто рассчитывают иначе, а именно:

(2.47)

Формула (2.47) по сравнению с формулой (2.46) содержит один дополнительный член, которым при незначительных величинах i и h можно пренебречь. Если же они значительны, то ошибка (не в пользу владельца денег) станет весьма ощутимой. Например, даже при i = 5% и h = 10% "вклад" этого произведения в брутто-ставку составит 0,5%. Брутто-ставка в этом случае равна 15,5% вместо 15% по формуле (2.47). При годовой инфляции в 100% и той же ставке наращения брутто-ставка увеличивается до 0,05 + 1 + 1 х 0,05 = 1,1, т.е. до 110%, а не 105%.

Разумеется, что при высоких темпах инфляции корректировка (индексация) ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае для среднесрочных операций.

Перейдем теперь к решению обратной задачи — к измерению реальной ставки процента, т.е. доходности с учетом инфляции — определению i по заданному значению брутто-ставки. Если r — объявленная норма доходности (брутто-ставка), то искомый показатель доходности в виде годовой процентной ставки i можно определить при начислении простых процентов на основе (2.43) как

. (2.48)

Реальная доходность, как видим, здесь зависит от срока наращения процентов. Напомним, что фигурирующий в этой формуле индекс цен охватывает весь период начисления процентов.

Аналогичный по содержанию показатель, но при наращении по сложным процентам найдем на основе формулы (2.44):

. (2.49)

Если брутто-ставка определяется по упрощенной формуле (2.47), то

. (2.50)

Показатель доходности здесь не зависит от срока начисления процентов. Положительной ставка i может быть только при условии

при начислении простых процентов и r > h при начислении сложных процентов.

Пример 2.26. Найдем реальную ставку сложных процентов для условий: годовая инфляция 120%, брутто-ставка 150%:

= 0,1364, или 13,68% (по упрощенной формуле 30%).

Другой метод компенсации инфляции сводится к индексации первоначальной суммы платежа Р. В этом случае эта сумма периодически корректируется с помощью заранее оговоренного индекса. Такой метод принят в Великобритании. По определению

C = PJ_p (1 + i) ⁿ.

Поиск по сайту: