АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Біноміальний закон розподілу

Читайте также:
  1. B) Наличное бытие закона
  2. II закон Кирхгофа
  3. II. Законодательные акты Украины
  4. II. Законодательство об охране труда
  5. II.3. Закон как категория публичного права
  6. III. Государственный надзор и контроль за соблюдением законодательства об охране труда
  7. IX. У припущенні про розподіл ознаки по закону Пуассона обчислити теоретичні частоти, перевірити погодженість теоретичних і фактичних частот на основі критерію Ястремського.
  8. IX.3.Закономерности развития науки.
  9. V. Для дискретної випадкової величини Х, заданої рядом розподілу, знайти:
  10. А 55. ЗАКОНОМІРНОСТІ ДІЇ КОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРІВ НА ЖИВІ ОРГАНІЗМИ
  11. А) Закон диалектического синтеза
  12. А) совокупность предусмотренных законодательством видов и ставок налога, принципов, форм и методов их установления.

Якщо ймовірність появи події у всіх незалежних випробуваннях однакова, тоді її можна знайти за формулою Бернуллі. У цьому випадку закон розподілу дискретної випадкової величини носить назву біноміального.

Означення: Біноміальним називають розподіл ймовірностей, які визначаються за формулою Бернуллі.

 

, де (10.1)

 

Закон названо біноміальним тому, що праву частину рівності (10.1) можна розглядати як загальний член розкладу бінома Ньютона

 

.

 

Запишемо біноміальний закон у вигляді таблиці

 

Х . . . . . . 0
Р . . . . . .

 

Приклад:

Монету підкинули два рази. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи „герба”.

 

Рішення

 

Ймовірність появи „герба” при кожному киданні монети однакова і дорівнює , відповідно ймовірність випадання „числа” .

Розглянемо всі можливі значення дискретної випадкової величини .

Відповідні ймовірності знайдемо за формулою Бернуллі:

 

 

 

 

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х має вигляд

 

Х
Р 0,25 0,5 0,25

 

Для біноміального розподілу справедливі наступні теореми.

Теорема: Математичне сподівання числа появи події А в п незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події у кожному випробуванні

 

. (10.2)

 

Доведення

 

Будемо розглядати дискретну випадкову величину Х – числа появи події А в п незалежних випробуваннях. Нехай:

 

- число появи події у першому випробуванні;

- число появи події у другому випробуванні;

.................................................................................

- число появи події у -му випробуванні.

 

Тоді за теоремою додавання , а ймовірність появи події

.

Оскільки події є повторними, то .

Тоді: , що і треба було довести.

Іншими словами теорему можна сформулювати: математичне сподівання біноміального розподілу з параметрами п і р дорівнює добутку п·р.

Приклад:

Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати р=0,8. Знайти математичне сподівання загального числа влучень, якщо зроблено 5 пострілів.



 

Рішення

 

Події – влучення при кожному пострілі є незалежними і повторними, тому розподіл дискретної випадкової величини Х – числа влучень при 5 пострілах з гармати є біноміальним. Тому за формулою (10.2) знайдемо середнє число влучень

 

.

 

Теорема: Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність р появи події однакова, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і не появи події в одному випробуванні

 

. (10.3)

 

Доведення

 

Розглянемо дискретну випадкову величину Х – числа появи події А в п незалежних випробуваннях

 

, де - взаємно незалежні події.

 

Тоді, за властивістю дисперсії

 

,

 

де .

 

Для знаходження складових попередньої формули, складемо розподіли

 

Х   Х2
Р p q Р p q

 

Звідси,

 

Тоді,

.

 

Іншими словами, дисперсія біноміального розподілу з параметрами п і р дорівнює добутку .

 

Приклад:

Зроблено 10 незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 0,8. Знайти дисперсію випадкової величини Х – числа появи події у цих випробуваннях.

 

Рішення

 

Знайдемо ймовірність не появи події

 

За формулою (10.3)

 

 

Розподіл Пуассона.

Нехай виконується п незалежних випробувань, при умові, що значення п досить велике, а ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і значення р є малим ( ), тоді при заданні закону розподілу для знаходження ймовірності користуються формулою Пуассона

 

, де (10.4)

 

Тоді заданий таким чином закон розподілу носить назву розподілу Пуассона.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.137 сек.)