АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Розділ 16.4. Побудова рівняння квадратичної функції

Читайте также:
  1. III. Соціальна політика, її сутність і функції.
  2. АБСТРАКТНІ КЛАСИ І ЧИСТІ ВІРТУАЛЬНІ ФУНКЦІЇ_________________________________________
  3. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  4. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  5. Алгоритм знаходження функції, оберненої до даної.
  6. Банківська система. Банки, їх види та функції
  7. Банківська система. Банки, їх види та функції
  8. Біржова торгівля. Товарна та фондова біржа, їх функції та значення
  9. Бухгалтерський баланс,його побудова, зміст і оцінка статей.
  10. Бухгалтерські рахунки, їх призначення, функції і побудова
  11. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  12. Бюджетно-податкова політика забезпечує найважливіші економічні функції держави, які формують її дієздатність в економічній політиці:

У випадку квадратичної функції за формулою (16.1) знаходимо мінімум суми як функції трьох змінних a, b, c, при яких частинні похідні її повинні дорівнювати нулю

 

 

Знаходимо частинні похідні функції

 

 

Прирівнюючи кожну з похідних до нуля отримуємо систему лінійних відносно a, b, c рівнянь

(16.4)

Приклад:

Статистичні дані витрат В підприємства і вкладень у модернізацію обладнання М наведено у вигляді таблиці.

М 3,5 4,1 4,5 4,2 5,5 5,7 6,3 7,5 8,0 8,0
В 13,0 8,5 6,5 5,0 3,3 2,9 2,9 5,2 7,0 9,1

 

Припускаючи, що між змінними В i М існує квадратична залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

 

Рішення

Для спрощення обчислень позначимо витрати В через змінну у, а вкладення в модернізацію М через змінну х та складемо розрахункову таблицю.

X (М) Y (В) x**2 х**3 х**4 XY х**2у (Y) (Y)-y
3,5   12,25 42,875 150,0625 45,5 159,25 12,04065471 -0,95935
4,1 8,5 16,81 68,921 282,5761 34,85 142,885 8,074138338 -0,42586
4,5 6,5 20,25 91,125 410,0625 29,25 131,625 6,016432497 -0,48357
4,2   17,64 74,088 311,1696   88,2 7,515713997 2,515714
5,5 3,3 30,25 166,375 915,0625 18,15 99,825 2,925402328 -0,3746
5,7 2,9 32,49 185,193 1055,6 16,53 94,221 2,65917934 -0,24082
6,3 2,9 39,69 250,047 1575,296 18,27 115,101 2,564476465 -0,33552
7,5 5,2 56,25 421,875 3164,063   292,5 5,542918124 0,342918
              8,0305421 1,030542
  9,1       72,8 582,4 8,0305421 -1,06946
57,3 63,4 353,63 2324,499 16055,89 351,35 2154,007 63,4 -1,3E-11

Використовуючи формулу (16.4) складемо систему для знаходження коефіцієнтів

 

 

Знайдемо розв’язок системи рівнянь за формулами Крамера

 

 

 

 

 

Тоді шукане рівняння набуде вигляду

 

 

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 3 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння параболи, побудоване за допомогою знайденого рівняння квадратичної лінії регресії.

 

Рис. 3

 

Розділ 16.5. Побудова рівняння гіперболічної функції

Вирівнювання дослідних даних за гіперболою здійснюється за допомогою заміни В такому разі в таблицю значень потрібно доповнити значеннями

 

… …
y2 … …
… …

 

Після цього знаходиться мінімум функції яка має такий самий вид, як й лінійна функція, тому відповідна система запишеться

 

(16.5)

 

Для отримання системи (16.5) складається відповідна обчислювальна таблиця відносно значень з якої знаходять необхідні для системи суми. Після знаходження отримуємо функцію

 

Приклад:

Статистичні дані собівартості продукції С підприємства і обсягів виробництва продукції Q наведено у вигляді таблиці.

 

Q 1,5 1,6 2,6 3,4 3,8 6,1 8,2 9,1 11,3 11,9
C 8,1 6,8 4,2 2,6 2,3 1,5 1,3 1,1 0,8 1,2

 

Припускаючи, що між змінними C i Q існує гіперболічна залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

 

Рішення

 

Для спрощення обчислень, позначимо собівартість виробленої продукції С через змінну у, а обсяги виробленої продукції Q через змінну х. Зробимо заміну та складемо розрахункову таблицю.

X (Q) Y (C) t t**2 ty (Y) (Y)-Y
1,5 8,1 0,666667 0,444444 5,4 7,523104 -0,5769
1,6 6,8 0,625 0,390625 4,25 7,034387 0,234387
2,6 4,2 0,384615 0,147929 1,615385 4,21487 0,01487
3,4 2,6 0,294118 0,086505 0,764706 3,153404 0,553404
3,8 2,3 0,263158 0,069252 0,605263 2,790271 0,490271
6,1 1,5 0,163934 0,026874 0,245902 1,62646 0,12646
8,2 1,3 0,121951 0,014872 0,158537 1,134031 -0,16597
9,1 1,1 0,10989 0,012076 0,120879 0,992563 -0,10744
11,3 0,8 0,088496 0,007831 0,070796 0,741623 -0,05838
11,9 1,2 0,084034 0,007062 0,10084 0,689288 -0,51071
59,5 29,9 2,801863 1,207471 13,33231 29,9 1,49E-14

Для знаходження параметрів рівняння гіперболи, складемо систему (16.5), яку розв’яжемо за формулами Крамера

 

 

 

 

 

 

Тоді шукане рівняння набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 4 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння гіперболи, побудоване за допомогою знайденого рівняння вибіркової лінії регресії.

 

Рис.4

Розділ 16.6. Побудова рівняння показникової функції

Вирівнювання дослідних даних за показниковою функцією здійснюється за допомогою логарифмування і подальшою заміною Тоді отримаємо лінійну залежність параметри якої знаходимо за розглянутим вище методом найменших квадратів.

Приклад:

Статистичні дані витрат на зберігання продукції, що потребує охолодження В і температури зберігання Т наведено у вигляді таблиці.

 

Т -4,2 -3,4 -1,5 -0,6 0,2 1,1 1,4 1,8 2,1 2,3
В 1,2 1,5 2,1 3,2 3,6 4,4 5,1 5,5 6,2 7,3

 

Припускаючи, що між змінними В i Т існує показникова залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Рішення

 

Для спрощення обчислень позначимо витрати на зберігання продукції В через змінну у, а температуру зберігання Т через змінну х. Зробимо заміну та складемо розрахункову таблицю.

 

X Y Y1=lgy XУ1 x**2 (Y) (Y)-y
-4,2 1,2 0,079181 -0,33256 17,64 1,161586 -0,03841
-3,4 1,5 0,176091 -0,59871 11,56 1,435501 -0,0645
-1,5 2,1 0,322219 -0,48333 2,25 2,373502 0,273502
-0,6 3,2 0,50515 -0,30309 0,36 3,011866 -0,18813
0,2 3,6 0,556303 0,111261 0,04 3,722097 0,122097
1,1 4,4 0,643453 0,707798 1,21 4,723171 0,323171
1,4 5,1 0,70757 0,990598 1,96 5,11347 0,01347
1,8 5,5 0,740363 1,332653 3,24 5,684492 0,184492
2,1 6,2 0,792392 1,664023 4,41 6,15423 -0,04577
2,3 7,3 0,863323 1,985643 5,29 6,48876 -0,81124
-0,8 40,1 5,386044 5,074284 47,96 39,86867 -0,23133

 

Аналогічно до методики побудови рівняння прямої, знайдемо коефіцієнти і

 

 

 

 

 

 

Повертаємося до заміни і знаходимо коефіцієнти

 

 

Таким чином, шукане рівняння набуде вигляду

 

 

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 5 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння показникової функції, побудоване за допомогою знайденого рівняння вибіркової лінії регресії.

 

Рис. 5.

Розділ 16.7.Знаходження параметрів множинної лінійної залежності

 

 

У моделюванні економічних процесів найбільшого розповсюдження набула залежність

 

. (16.6)

 

Досить поширене використання цієї залежності пояснюється відносною простотою як її побудови, так і інтерпритації параметрів. Застосуємо до обчислення параметрів залежності (16.6) метод найменших квадратів.

 

 

Одержуємо систему

 

 

 

Після елементарних перетворень одержуємо систему рівнянь, з якоъ знаходимо параметри рывняння (10.6).

 

 

 

(16.7)

 

 

Аналогічним чином, можна побудувати трьохфакторне рівняння

 

 

. (16.8)

 

 

Після перетворень система (16.7) для визначення параметрів рівняння (16.8) набуде вигляду

 

(16.9)

 

Приклад: Розрахуємо параметри трьохфакторної лінійної функції, що встановлює залежність виробництва валової продукції у, млн. грн. підприємств від суми основних х1 і оборотних х2 виробничих фондів, млн. грн. і середньорічної чисельності працюючих х3, чол. Вихідні дані для побудови виробничої функції представлені у таблиці 1.

 

 

Таблиця 1

 

Виробничі фонди, число працюючих і виробництво валової продукції підприємств

 

х1 х2 х3 у
      4,1       16,81       41,0 12,3  
      5,6       31,36       67,2 28,0  
      3,1       9,61       21,7 6,2  
      6,4       40,96       83,2 38,4  
      8,6       73,96       154,8 60,2  
      5,5       30,25       60,5 27,5  
      11,0       121,00       253,0 110,0  
      7,9       62,41       126,4 63,2  
      3,8       14,44       26,6 11,4  
      8,5       72,25       144,5 59,5  
      64,5       473,05       978,9 416,7  

 

Підставимо значення сум у систему (16.9) і одержимо систему з чотирьох рівнянь і чотирьох невідомих.

 

 

 

Знайдемо розв’язок системи (наприклад за методом Гаусса)

 

 

Звідси, лінійна функція, що відображає зв’язок виробництва вадової продукції від суми основних і оборотних фондів та числа працюючих, набуде вигляду

 

.

 

Для перевірки точності обрахунків порівняємо емпіричні і теоретичні значення функції

 

4,1 5,6 3,1 6,4 8,6 5,5 11,0 7,9 3,8 8,5 64,5
4,073 5,624 3,140 6,373 8,587 5,480 11,018 7,912 3,798 8,495 64,500

Як видно, сумарні значення емпіричних і теоретичних частот співпадають.

 

Розділ 17.1. Кореляційна таблиця

При великій кількості спостережень одне й теж значення х може зустрічатися пх раз, одне й те ж значення у – пу раз, одна й таж пара чисел(х; у) може спостерігатися пху раз. Тому ці спостереження групуються, тобто підраховуються частоти пх, пу і пху. Всі згруповані дані записуються у вигляді таблиці, яку називають кореляційною.

Приклад:

Кореляційну таблицю можна представити наступним чином

 

У Х пу
       
-3          
           
пх         п =25

 

У першому рядку таблиці вказано значення ознаки Х, що спостерігалася:

(5; 10; 15; 20), а у першому стовпці ознаки У: (-3; 3). На перетині рядків і стовпців знаходяться частоти пар значень ознак пху, що спостерігаються. Наприклад, частота 1 знаходиться на перетині значень ознак Х =5 і У = -3, тобто пара (5; -3) зустрічається 1 раз. В останній нижній клітині наведена кількість пар

(х; у).

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.027 сек.)