МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Необходимость в такого рода прогнозировании чаще возникает при ситуационном и социально-этическом менед­жменте.

Эти методы применяются тогда, когда за время упреждения не изменяются ни функции, ни структура объ­екта прогнозирования. Прогнозная экстраполяция приме­няется, если время упреждения укладывается в рамках эво­люционного цикла. При возникновении в рамках времени упреждения скачка в развитии объекта, изменении функций или структуры используют интуитивные или функциональ­но-логические методы. Методы прогнозной экстраполяции оперируют с количественной информацией. Они хорошо разработаны /5, 61. Чаще всего вычисления в соответствии с этими методами включены в резидентное программное обеспечение современных вычислительных средств. Поэто­му основная задача настоящего раздела книги - ознако­мить прогнозиста-пользователя современных вычислитель­ных средств и программных продуктов:

1) с объемом информации, необходимой для их при­менения;

2) с принципами, лежащими в основе этих методов;

3) с основными ограничениями на их применение.

На применение математических методов прогнозиро­вания в условиях переходной экономики существуют до­статочно жесткие ограничения. Эти ограничения связаны со следующими обстоятельствами:

1. Математические методы прогнозирования применя­ются, если величина времени (глубины) упреждения укла­дывается в рамках одного из циклов объекта прогнозиро­вания /4/. Глубину прогноза определяют, как отношение абсолютного времени упреждения к величине соответ­ствующего цикла объекта прогнозирования. При возникно­вении в рамках времени упреждения скачка в развитии объекта прогнозирования рекомендуется использовать ин­туитивные методы для определения силы скачка и време­ни его осуществления.

2. Каждый из статистических методов имеет довольно жесткие требования к качеству обрабатываемых данных (например, к их однородности) и гипотезам о характере поведения анализируемых величин (их распределений) /5/. На практике же прогнозист имеет дело с данными, каче­ство которых либо вообще не известно, либо оставляет же­лать лучшего. Чаще всего не известен и тип распределения переменных.

3. В условиях переходной экономики происходят кар­динальные изменения в структурах (спроса, потребностей, цен, технологического базиса и т. д.), причем оценить, про­изошло ли, и если произошло, то когда такое структурное изменение, довольно трудно. А следовательно, довольно трудно понять, можно ли доверять результатам математи­ческого прогнозирования.

Поэтому в условиях переходной экономики матема­тические методы прогнозирования справедливо занимают гораздо более скромное место, чем в сформировавшейся экономике. В этой ситуации математические методы могут применяться при прогнозировании:

1) краткосрочном, когда вероятность структурных из­менений достаточно низка;

2) при условии, что исходные статистические данные соответствуют требованиям, предъявляемым конкретным математическим методом;

3) с дополнительной верификацией результата другим методом.

В последнем случае могут быть рекомендованы сле­дующие способы верификации.

Прямая верификация прогноза - верификация путем разработки того же прогноза другим методом. Косвенная верификация прогноза - верификация путем сопоставления его с прогнозом или данными, полученными из других источников.

Консеквентная верификация - верификация путем ана­литического или логического выведения прогноза из ранее полученных прогнозов.

Верификация оппонентом - верификация путем опро­вержения критических замечаний оппонента по прогнозу.

Верификация экспертом - верификация сравнением прогноза с мнением эксперта.

С учетом приведенных замечаний можно приступать к математическому прогнозированию.

Временной ряд при экстраполяции представляется в виде суммы детерминированной (неслучайной) составляющей, на­зываемой трендом, и стохастической (случайной) состав­ляющей. Тренд характеризует существующую динамику раз­вития процесса в целом. Случайная составляющая отражает случайные колебания или шумы процесса.

Условно прогнозная экстраполяция может быть разде­лена на два этапа. Первым этапом экстраполяции является выбор оптимального вида функции, описывающей эмпири­ческий ретроспективный ряд. Для этого ретроспективный ряд предварительно обрабатывается. Производится преобразо­вание исходных данных с целью облегчения выбора вида тренда. При этом используют сглаживание и выравнивание временного ряда. Кроме того, в тех же целях могут опре­деляться функции дифференциального роста, проводиться формальный, в частности, логический анализ процесса или объекта прогнозирования.

На втором этапе экстраполяции производится расчет коэффициентов выбранной экстраполяционной функции. Наиболее распространенными методами оценки коэффици­ентов являются метод наименьших квадратов и его моди­фикации, метод экспоненциального сглаживания и т. д.

Метод наименьших квадратов. Метод применим, если за время упреждения функции структура объекта прогнози­рования не изменяется, а могут изменяться только значения его параметров. Использование метода наименьших квадра­тов предполагает обязательное удовлетворение целого ряда предпосылок. Перечислим эти предпосылки /5/:

1. Случайные ошибки имеют нулевую среднюю (отсутствуют систематические ошибки), конечные дисперсию и ковариацию.

2. Каждое измерение случайной ошибки характеризует­ся нулевым средним, не зависящим от значений наблю­даемых переменных.3. Дисперсии каждой случайной ошибки одинаковы, их величины независимы от значений наблюдаемых пере­менных (гомоскедастичность).

4. Отсутствует автокорреляция ошибок, т. е. значения ошибок различных наблюдений независимы друг от друга.

5. Нормальность, т. е. случайные ошибки имеют нор­мальное распределение.

6. Значения тренда (эндогенной, т. е. внутренней пере­менной) свободны от ошибок измерения и имеют конечные средние значения и дисперсии.

Невыполнение этих предпосылок может сделать при­менение этого метода некорректным или привести к чрез­мерным ошибкам прогноза.

Сущность метода состоит в отыскании коэффициентов модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда:

n

S= ∑ (yi – Yi) 2→min

где: уi_;- расчетные значения тренда;

Уi; - фактическое значение ретроспективного ряда;

n - число наблюдений.

Модель тренда можно представить в виде:

y = f(xi, a 1, A 2..., a k, t),

где: a_pa₂,...,a_k - параметры модели;

t - время;

х; - независимые переменные.

Для нахождения параметров модели, удовлетворяющих условию минимума S, необходимо приравнять нулю первые производные величины S по каждому из коэффициентов а;. Решая полученную систему уравнений с к неизвестными, находим значения коэффициентов а,.

Выбор модели в каждом конкретном случае осу­ществляется по целому ряду статистических критериев, например, по дисперсии, корреляционному отношению и др. Следует отметить, что названные критерии являются критериями апроксимации, а не прогноза. Однако, при­нимая во внимание принятую гипотезу об устойчивости процесса в будущем, можно предполагать, что в этих усло­виях модель, наиболее удачная для апроксимации, будет наилучшей и для прогноза 141.

В ряде случаев для выборa вида функциональной за­висимости используется прием, основанный на том, что определенные соотношения между изменениями входной и выходной величины предполагают ту или иную функциональную зависимость. При соответствующих отношениях входных и выходных величин могут быть рекомендованы следующие аппроксимирующие зависимости:

∆y ∆ lny a 1

― = const→ y= A 0 + A 1 X; ― = c onst→ y= A0 X;

∆x ∆ x

∆ ln y ∆y

― = const→ y= A 0 A 1; ― = c onst→ y= A0 + A1X + A2X

∆ ln x ∆ x

∆ (x/y) x

― = const → y = ―

∆x A 0 + A1 X

Важной характеристикой прогноза с применением метода наименьших квадратов является оценка точности и достоверности полученного результата.

Наиболее простыми и применимыми практически оценками точности являются: средняя относительная ошиб­ка оценки, среднее линейное отклонение.

Средняя относительная ошибка оценки может быть найдена по формуле:

1 n Y1 - Y(xi)

M = ― ∑ ― ∙ 100%

n i=1 Yi

Среднее линейное отклонение может быть найдено по формуле:

∑ | Y i - Y(xi)|

В= ―

√ n (n-1)

Для оценки точности решения большинства практиче­ских задач прогнозирования этого оказывается достаточно. Это связано с относительно невысокой точностью и досто­верностью исходных данных. Однако в некоторых случаях, например, в фундаментальных исследованиях, для оценки точности и достоверности результата прогноза используется целый ряд статистических характеристик /5/.

В частности, определяют границы доверительного ин­тервала, внутри которого будет лежать прогнозируемое значение зависимых переменных с заданной доверительной вероятностью. При этом считается, что ошибки прогноза распреде­лены нормально относительно линии регресии и взаимно независимы. При использовании в процессе математического про­гнозирования современных программных продуктов прогно­зист (он же пользователь ЭВМ) задает исходные ретроспек­тивные данные, вид апроксимирующей функции. На выходе, в результате работы ЭВМ прогнозист получает как оценку прогнозируемого параметра, так и оценки точности и до­стоверности этого прогноза.

Классический метод наименьших квадратов предполагает равноценность исходной информации. Однако на практике зачастую, будущее поведение объекта или процесса прогно­зирования в большей степени определяется поздними на­блюдениями, чем ранними. Это обстоятельство породило прием дисконтирования информации. Формальных процедур выбора коэффициента дисконтирования не разработано. Обсуждаемые коэффициенты выбираются исследователем интуитивно, что может снижать точность прогнозирования.

Спектральный анализ /4/. Этот метод позволяет про­гнозировать процессы, динамика которых содержит колеба­тельные или гармонические составляющие. К такого рода процессам относятся сезонные колебания спроса, макроэко­номические процессы, энергопотребление и т.д.

При описании такого процесса выделяют четыре ком­поненты прогнозной модели:

xi(t) - вековой уровень, описывается гладкими аперио­дическими функциями;

x2(t) - сезонные колебания с двенадцатимесячным пе­риодом;

x3(t) - колебания с периодом, большим, чем двенадцать месяцев;

q(t) - случайные колебания с широкими по диапазону периодами, но небольшой интенсивностью.

Методы теории распознавания образов

также могут быть использованы для установления аналогии. Существует несколько типов задач распознавания образов, важнейшими из которых являются три их типа/4/:

-обучение распознаванию образов;

- задача сокращения (минимизации) описания;

- задача таксономии.

Для первой задачи требуется по некоторому набору признаков с помощью выбранного решающего правила определить, к какому классу относятся рассматриваемые объекты. Первоначально существует некоторое количество объектов, образующих так называемые обучающие вы­борки, для которых указываются классы, содержащие эти

объекты.

По мере рассмотрения признаков, для каждого объек­та вырабатываются некоторые критерии, называемые ре­шающим правилом, которые и позволяют определить при­надлежность каждого нового объекта тому или иному классу с ошибкой, не превышающей заранее заданную. Та­ким образом, при наличии обучающей выборки строится такое решающее правило, которое позволяет реализовать прогноз о принадлежности объектов определенным классам или определенным интервалам значений своих параметров при появлении новой информации об этих объектах.

Вторая задача позволяет из совокупности признаков, характеризующих каждый рассматриваемый объект, выбрать те, которые являются наиболее информативными с точки зрения распознавания, иначе задание формулируется сле­дующим образом: построить такое преобразование про­странства признаков в некоторое другое пространство, что­бы размерность нового пространства признаков была меньше исходной, а функция потерь при его использо­вании, существенно не увеличилась.

Третья задача (самообучения) заключается в том, чтобы из некоторого множества объектов выделить с помощью за­данного правила классы однородных одинаковых объектов.

Как правило, при решении конкретных проблем про­гнозирования необходимо использовать сочетание рассмот­ренных задач.

Так, решение первой задачи с одновременным на­хождением подмножества информативных признаков осу­ществляется в несколько этапов, на каждом из которых решается основная задача.

Процедура прогнозирования на основе распознавания образов состоит в том, что выбираются классы состояний, исследуемых объектов, которые могут быть заданы как диапазонами изменения некоторых параметров, так и опре­деленными качественными характеристиками. По совокуп­ности признаков, определяющих состояние объектов, нахо­дится соответствие принадлежности каждого нового объекта или объекта в будущем времени к определенному классу. Это позволяет дать прогноз состояния объекта или ука­зать диапазон изменения параметров, характеризующих его на прогнозируемый период.

Поиск по сайту: