Исследование условных вероятностей

В настоящем разделе исследуем характеристики условных распределений моментов восстановления простейшего потока x(x) на интервале (0,t), t>0 при двух весьма характерных условиях:

· на интервале (0,t) произошло ровно k>0 восстановлений - событие

· на интервале (0,t) произошло по крайней мере k>0 восстановлений - событие .

При дальнейших рассуждениях будем использовать следующие обозначения: - момент восстановления с номером k, P{h₀=x₀=0}=1.

Условное распределение моментов восстановления.

ТЕОРЕМА 3.1. При любых x_k, удовлетворяющих условиям

0£x₁£x₂£....£x_n£t, (3.22)

для условного совместного распределения моментов восстановления простейшего процесса справедливо равенство

(3.23)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При доказательстве воспользуемся определением 3.1. Для вероятности произведения событий имеем

В последнем интеграле сделаем замену переменных интегрирования

Тогда получаем равенство

(3.24)

С учетом равенства (3.1) и определения условной вероятности из (3.24) получаем требуемое соотношение

*

Равенство (3.23) показывает, что совместное условное распределение имеет плотность, которая равна константе в области (3.22) и равна нулю вне этой области. Отсюда справедливо очевидное равенство

Далее заметим, что такую совместную плотность распределения имеют члены вариационного ряда в выборке объема n, распределенной равномерно на [0,t]. Это связывает порядковые статистики и простейший поток. Более подробно об этом в [9].

СЛЕДСТВИЕ 3.1. Для одномерного условного распределения при k£n и 0<x£t справедливо равенство

(3.25)

где через B_k,m(y) обозначена неполная бета-функция, 0£y£1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство (3.25) получается интегрированием плотности по области {(z₁,z₂,...,z_n):0£z₁£z₂£...£z_k£x,z_k£z_k+1£...£z_n£t}. Или, если воспользоваться формулой (1.6) – распределение Эрланга случайной величины h_k и равенством (3.1), ту же самую формулу получаем из равенства

Из определения условной вероятности получаем равенство (3.25).^*

Замечание. При вычислении распределения (3.25) можно воспользоваться различными представлениями неполной бета функции при целочисленных параметрах [10]. В рассматриваемом случае можно использовать равенство

Тогда для условного распределения (3.25) получаем равенство при

(3.26)

Последнее равенство можно трактовать следующим образом. Пусть заданы n независимых случайных величин, равномерно распределенных на [0,t]. Тогда условная вероятность совпадает с вероятностью того, что, по крайней мере, k, , этих случайных величин, меньше x,

ТЕОРЕМА 3.2. При любых 0£x£t<¥ и целых n и k, для которых 1£k£n<¥,

для условного распределения k-го момента восстановления при условии, что на интервале (0,t) произошло, по крайней мере, n восстановлений, справедливо равенство

(3.27)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В ранее принятых обозначениях событие представляется как сумма бесконечного числа несовместных событий Следовательно, с учетом (3.26) получаем равенство

Разделив последнее равенство на вероятность условия (1.6), получаем равенство (3.27).*

Поиск по сайту: