АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Исследование условных вероятностей

Читайте также:
  1. B) 18,476 млн. условных тонн
  2. II. Исследование пульса, его характеристика. Места определения пульса.
  3. IIІ Исследование функций
  4. V. Объективное исследование больного.
  5. Аксиома выражения в теории вероятностей.
  6. Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей.
  7. Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей.
  8. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей.
  9. Аналитическое исследование системы
  10. Архивное исследование
  11. Б. Качественное исследование
  12. Бактериологическое исследование трупа

В настоящем разделе исследуем характеристики условных распределений моментов восстановления простейшего потока x(x) на интервале (0,t), t>0 при двух весьма характерных условиях:

· на интервале (0,t) произошло ровно k>0 восстановлений - событие

· на интервале (0,t) произошло по крайней мере k>0 восстановлений - событие .

При дальнейших рассуждениях будем использовать следующие обозначения: - момент восстановления с номером k, P{h0=x0=0}=1.

Условное распределение моментов восстановления.

ТЕОРЕМА 3.1. При любых xk, удовлетворяющих условиям

0£x1£x2£....£xn£t, (3.22)

для условного совместного распределения моментов восстановления простейшего процесса справедливо равенство

(3.23)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При доказательстве воспользуемся определением 3.1. Для вероятности произведения событий имеем

В последнем интеграле сделаем замену переменных интегрирования

Тогда получаем равенство

(3.24)

С учетом равенства (3.1) и определения условной вероятности из (3.24) получаем требуемое соотношение

*

Равенство (3.23) показывает, что совместное условное распределение имеет плотность, которая равна константе в области (3.22) и равна нулю вне этой области. Отсюда справедливо очевидное равенство

Далее заметим, что такую совместную плотность распределения имеют члены вариационного ряда в выборке объема n, распределенной равномерно на [0,t]. Это связывает порядковые статистики и простейший поток. Более подробно об этом в [9].

СЛЕДСТВИЕ 3.1. Для одномерного условного распределения при k£n и 0<x£t справедливо равенство

(3.25)

где через Bk,m(y) обозначена неполная бета-функция, 0£y£1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство (3.25) получается интегрированием плотности по области {(z1,z2,...,zn):0£z1£z2£...£zk£x,zk£zk+1£...£zn£t}. Или, если воспользоваться формулой (1.6) – распределение Эрланга случайной величины hk и равенством (3.1), ту же самую формулу получаем из равенства

Из определения условной вероятности получаем равенство (3.25).*

Замечание. При вычислении распределения (3.25) можно воспользоваться различными представлениями неполной бета функции при целочисленных параметрах [10]. В рассматриваемом случае можно использовать равенство

Тогда для условного распределения (3.25) получаем равенство при

(3.26)

Последнее равенство можно трактовать следующим образом. Пусть заданы n независимых случайных величин, равномерно распределенных на [0,t]. Тогда условная вероятность совпадает с вероятностью того, что, по крайней мере, k, , этих случайных величин, меньше x,

ТЕОРЕМА 3.2. При любых 0£x£t<¥ и целых n и k, для которых 1£k£n<¥,

для условного распределения k-го момента восстановления при условии, что на интервале (0,t) произошло, по крайней мере, n восстановлений, справедливо равенство

(3.27)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В ранее принятых обозначениях событие представляется как сумма бесконечного числа несовместных событий Следовательно, с учетом (3.26) получаем равенство

Разделив последнее равенство на вероятность условия (1.6), получаем равенство (3.27).*


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)