Анализ предельных характеристик

Выясним условия на интенсивности l_k и m_k, обеспечивающие возвратность и положительность состояний процесса размножения и гибели. Для этого воспользуемся результатами, приведенными в [12]. В наших обозначениях:

· необходимым и достаточным условием возвратности является условие

(расходимость ряда); (4.38)

· необходимым и достаточным условием положительности является условие

(4.39)

где обозначено

(4.40)

Если выполняются условия (4.38) и (4.39), то для процесса размножения и гибели существуют предельные вероятности состояний p_j. Эти вероятности удовлетворяют системе (4.35), которая в рассматриваемом случае принимает вид

Обозначим Тогда в новых обозначениях последняя система примет следующий вид

0=z₁=z₂=...=z_n=...,

что в свою очередь позволяет выписать рекуррентно решение

если принять во внимание обозначения (4.40). Таким образом, с учетом нормировки получаем выражения для предельных вероятностей состояний марковского процесса размножения и гибели

(4.41)

Имея явные выражения предельных вероятностей (4.41), можно для процессов размножения и гибели, не решая систему алгебраических уравнений, получить выражение стационарных вероятностей вложенной цепи Маркова. Объединяя равенства (4.33) и (4.40) и учитывая условие нормировки, получаем после элементарных преобразований

Поиск по сайту: