Уравнения Колмогорова

Из перечисленных в предыдущем параграфе свойств переходных вероятностей следуют теоремы о существовании интенсивностей перехода.

Сформулируем эти теоремы без доказательства (доказательства можно найти в [9,11]).

ТЕОРЕМА 4.1. При каждом iÎЕ предел

существует, но может быть бесконечным.

ТЕОРЕМА 4.2. При любых i,jÎЕ, i¹j, предел

существует и конечен.

Для конечного множества состояний E очевидно равенство . Для счетного множества состояний E справедливо неравенство

В самом деле, из свойств переходных вероятностей следует

и для любого N<¥ справедливо неравенство

Разделив обе части неравенства на t и устремив t к нулю, получим

Поскольку N произвольно, а все слагаемые неотрицательны, получаем требуемое утверждение.

Вывод уравнений Колмогорова. Для конечного множества состояний Е уравнения Колмогорова получаются по формулы полной вероятности и свойств переходных вероятностей (разложение в окрестности нуля)при D®0

,

(4.10)

Для конечного множества состояний Е=(1,2,...,N) из (4.6) получаем

(4.11)

или после элементарных преобразований и перехода к пределу при D®0

(4.12)

Система дифференциальных уравнений (4.12) называется прямыми уравнениями Колмогорова.

Исходя из (4.6), равенство (4.11) можно записать иначе

и после аналогичных элементарных преобразований получаем систему обратных уравнений Колмогорова

(4.13)

Для вероятностей состояний (одномерного распределения)

по формуле полной вероятности получаем соотношение

Если использовать разложение переходных вероятностей в окрестности нуля, то получим

После элементарных преобразований при D®0 получаем систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний процесса Маркова

(4.14)

Заметим, решение системы (4.14) при начальном условии совпадает с переходной вероятностью , то есть совпадает с решением системы уравнений (4.12).

Для счетного числа состояний необходимым и достаточным условием справедливости обратных уравнений Колмогорова (4.13) являются условия

при всех iÎE. (4.15)

Доказательство этого утверждения дано в [9, 11].

В дальнейших рассуждениях предполагаем условия (4.15) выполненными.

Относительно прямых уравнений Колмогорова ситуация значительно сложнее, поскольку можно построить пример марковского процесса, для которого условия (4.15) выполняются, а равенства (4.12) не выполняются [11]. Поэтому в дальнейшем справедливость прямых уравнений Колмогорова для процесса Маркова со счетным множеством состояний будет постулироваться.

Поиск по сайту: