Определение распределения Эрланга и его связь с экспоненциальным распределением

Случайная величина h имеет распределение Эрланга порядка k>0 с параметром l>0, если

(1.6)

Распределение F_k(t) имеет плотность

,

что проверяется непосредственно дифференцированием функции (1.6), то есть справедливо равенство при t>0, k>0

(1.7)

Теперь установим связь между распределением Эрланга и экспоненциальным распределением. Нетрудно видеть, что распределение Эрланга первого порядка (k=1) совпадает с экспоненциальным распределением.

Далее пусть задана последовательность {x_m, m>0} независимых в совокупности экспоненциально распределенных случайных величин с одним и тем же параметром l. Обозначим и покажем, что при любом k>0 случайная величина h_k распределена по закону Эрланга порядка k с параметром l, P{h_k<t}=F_k(t). Доказательство проведем, используя метод математической индукции. Как отмечалось выше при k=1 утверждение верно. Пусть оно верно при некотором k>1. Тогда получаем с учетом равенства (1.7)

(1.8)

то есть утверждение верно при k+1.

Таким образом, доказано, что распределение Эрланга k - го порядка есть распределение суммы k независимых в совокупности, экспоненциально распределенных случайных величин с одним и тем же параметром l.

В силу известных свойств моментов сумм независимых в совокупности случайных величин при s=1,2 имеем

Поиск по сайту: