Биномиальная оценка опциона

Необходимо оценить колл-опцион с ценой исполнения, равной 50 долл., срок действия которого истечет через два временных периода, с базовым активом, цена которого в данный момент равна 50 долл., при этом предполагается изменение цены в соответствии с биномиальным процессом. Процентная ставка безрискового заимствования равна 11%. Определим: ∆ (число акций в имитирующем портфеле) и В (сумму заимствования в портфеле-имитаторе).

Цель — создать комбинацию из ∆ акций и В заимствованных денежных средств для воспроизведения денежных потоков, получаемых от колл-опциона с ценой исполнения 50 денежных единиц (д.е.). Этого можно добиться при помощи пошагового процесса, начиная с последнего периода и двигаясь назад по биномиальному дереву.

Шаг 1. Начните с конечных узлов и двигайтесь назад:

Имитирующий портфель

(100× ∆) - (1,11× В) = 50

(50× ∆) - (1,11× В) = 0

решение для ∆ и В

∆ = 1; В = 45

Купить 1 акцию; занять 45 д.е.

Таким образом, если цена на акцию равна 70 д.е. при t = 1, то заимствование 45 д.е.. и покупка одной акции создадут те же самые денежные потоки, что и приобретение одного колл-опциона. Следовательно, если цена акции равна 70 долл., то при t = 1 стоимость колл-опциона равна:

Стоимость колл-опциона = стоимость имитирующей позиции =

= 70 ∆ - В = 70 - 45 = 25.

Рассмотрим другую ветвь биномиального дерева при t = 1:

Имитирующий портфель

(50× ∆) - (1,11× В) = 0

(25× ∆) - (1,11× В) = 0

решение для ∆ и В

∆ = 0; В = 0

Шаг 2. Двигаться назад в более ранний период времени и сформировать портфель- имитатор, который создаст денежные потоки, аналогичные потокам, генерируемым опционом.

Имитирующий портфель

(70 × ∆) — (1,11 × В) = 25 (из шага 1)

(35 × ∆) — (1,11 × В) = 0(из шага 1)

Решение для ∆ и В

∆ = 5/7; В = 22,5

Купить 5/7 акции; заимствовать 22,50 д.е..

Другими словами, заимствование 22,50 д.е. и приобретение пяти седьмых акции обеспечит те же денежные потоки, что и колл-опцион с ценой исполнения 50 д.е. Таким образом, стоимость колл-опциона должна соответствовать издержкам на создание этой позиции.

Стоимость колл-опциона = стоимость имитирующей позиции = (5/7) ×

× текущая цена акции - заимствование = (5/7)(50) - 22,5 = 13,21 д.е.

Поиск по сайту: