|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии. Метод КрамераВ общем виде линейную модель множественной регрессии можно записать следующим образом: yi=β0+β1x1i+…+βmxmi+εi, где yi – значение i-ой результативной переменной, x1i…xmi – значения факторных переменных; β0…βm – неизвестные коэффициенты модели множественной регрессии; εi – случайные ошибки модели множественной регрессии. В результате оценивания данной эконометрической модели определяются оценки неизвестных коэффициентов. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). Суть метода наименьших квадратов состоит в том, чтобы найти такой вектор β оценок неизвестных коэффициентов модели, при которых сумма квадратов отклонений (остатков) наблюдаемых значений зависимой переменной у от расчётных значений ỹ (рассчитанных на основании построенной модели регрессии) была бы минимальной. Матричная форма функционала F метода наименьших квадратов: где – случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности (n*1); – матрица значений факторной переменной размерности (n*(m+1)). Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу; В процессе минимизации функции (1) неизвестными являются только значения коэффициентов β0…βm, потому что значения результативной и факторных переменных известны из наблюдений. Для определения минимума функции (1) необходимо вычислить частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравнять их к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений для функции (1): где – вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности ((m+1)*1); Общий вид стационарной системы уравнений для функции (1): Решением стационарной системы уравнений будут МНК-оценки неизвестных параметров линейной модели множественной регрессии: Оценим с помощью метода наименьших квадратов неизвестные параметры линейной модели двухфакторной регрессии: yi=β0+β1x1i+β2x2i+εi, где Чтобы рассчитать оценки неизвестных коэффициентов β0,β1 и β2 данной двухфакторной модели регрессии, необходимо минимизировать функционал F вида: Для определения экстремума функции нескольких переменных, частные производные по этим переменным приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений для модели множественной линейной регрессии с двумя переменными: В результате элементарных преобразований данной стационарной системы уравнений получим систему нормальных уравнений: Данная система называется системой нормальных уравнений относительно коэффициентов для модели регрессии yi=β0+β1x1i+β2x2i+εi. Полученная система нормальных уравнений является квадратной, т. к. количество уравнений равняется количеству неизвестных переменных, поэтому коэффициенты можно рассчитать с помощью метода Крамера или метода Гаусса. Рассмотрим подробнее метод Крамера решения квадратных систем нормальных уравнений. Единственное решение квадратной системы линейных уравнений определяется по формуле: где Δ – основной определитель квадратной системы линейных уравнений; Δ j – определитель, полученный из основного определителя путём замены j-го столбца на столбец свободных членов. При использовании метода Крамера возможно возникновение следующих ситуаций: 1) если основной определитель системы Δ равен нулю и все определители Δj также равны нулю, то данная система имеет бесконечное множество решений; 2) если основной определитель системы Δ равен нулю и хотя бы один из определителей Δj также равен нулю, то система решений не имеет. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |