|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессииПри проведении регрессионного анализа основная трудность заключается в том, что генеральная дисперсия случайной ошибки является неизвестной величиной, что вызывает необходимость в расчёте её несмещённой выборочной оценки. Несмещённой оценкой дисперсии (или исправленной дисперсией) случайной ошибки линейной модели парной регрессии называется величина, рассчитываемая по формуле: где n – это объём выборочной совокупности; еi – остатки регрессионной модели: Для линейной модели множественной регрессии несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки рассчитывается по формуле: где k – число оцениваемых параметров модели регрессии. Оценка матрицы ковариаций случайных ошибок Cov(ε) будет являться оценочная матрица ковариаций: где I n – единичная матрица. Оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии распределена по ε2 (хи-квадрат) закону распределения с (n-k-1) степенями свободы. Для доказательства несмещённости оценки дисперсии случайной ошибки модели регрессии необходимо доказать справедливость равенства Доказательство. Примем без доказательства справедливость следующих равенств: где G2(ε) – генеральная дисперсия случайной ошибки; S2(ε) – выборочная дисперсия случайной ошибки; – выборочная оценка дисперсии случайной ошибки. Тогда: т. е. что и требовалось доказать. Следовательно, выборочная оценка дисперсии случайной ошибки является несмещённой оценкой генеральной дисперсии случайной ошибки модели регрессии G2(ε). При условии извлечения из генеральной совокупности нескольких выборок одинакового объёма n и при одинаковых значениях объясняющих переменных х, наблюдаемые значения зависимой переменной у будут случайным образом колебаться за счёт случайного характера случайной компоненты β. Отсюда можно сделать вывод, что будут варьироваться и зависеть от значений переменной у значения оценок коэффициентов регрессии и оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии. Для иллюстрации данного утверждения докажем зависимость значения МНК-оценки от величины случайной ошибки ε. МНК-оценка коэффициента β1 модели регрессии определяется по формуле: В связи с тем, что переменная у зависит от случайной компоненты ε (yi=β0+β1xi+εi), то ковариация между зависимой переменной у и независимой переменной х может быть представлена следующим образом: Для дальнейших преобразования используются свойства ковариации: 1) ковариация между переменной х и константой С равна нулю: Cov(x,C)=0, C=const; 2) ковариация переменной х с самой собой равна дисперсии этой переменной: Cov(x,x)=G2(x). Исходя из указанных свойств ковариации, справедливы следующие равенства: Cov(x,β0)=0 (β0=const); Cov(x, β1x)= β1*Cov(x,x)= β1*G2(x). Следовательно, ковариация между зависимой и независимой переменными Cov(x,y) может быть записана как: Cov(x,y)= β1G2(x)+Cov(x,ε). В результате МНК-оценка коэффициента β1 модели регрессии примет вид: Таким образом, МНК-оценка может быть представлена как сумма двух компонент: 1) константы β1, т. е. истинного значения коэффициента; 2) случайной ошибки Cov(x,ε), вызывающей вариацию коэффициента модели регрессии. Однако на практике подобное разложение МНК-оценки невозможно, потому что истинные значения коэффициентов модели регрессии и значения случайной ошибки являются неизвестными. Теоретически данное разложение можно использовать при изучении статистических свойств МНК-оценок. Аналогично доказывается, что МНК-оценка коэффициента модели регрессии и несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки могут быть представлены как сумма постоянной составляющей (константы) и случайной компоненты, зависящей от ошибки модели регрессии ε. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |