Скорость и ускорение

Мы уже говорили, что при движении частицы ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению. В кинематике вводят величину, характеризующую быстроту изменения радиуса-вектора со временем. Ее называют скоростью частицы.

Пусть в момент времени частица, двигаясь по траектории, находилась в точке 1 (рис. 2.1). За элементарный (очень малый) промежуток времени радиус-вектор частицы получит элементарное приращение . Векторную величину

(2.1)

называют скоростью частицы в точке 1 траектории. Вектор направлен, так же как и вектор , по касательной к траектории в точке 1.

Рис. 2.1

Аналогично определяют скорость частицы в любой точке траектории или, что то же самое, в любой момент времени движения частицы. В математике правую часть равенства (2.1) называют производной радиуса-вектора по времени. Следовательно, скорость v частицы в момент времени равна производной по времени от радиуса-вектора этой частицы. Очевидно, для определения скорости частицы в любой момент времени надо знать закон движения частицы (1.3).

Можем написать

(2.2)

где — проекции вектора на координатные оси.

Модуль скорости

(2.3)

Принимая во внимание соотношения (1.7) и (2.1), можем записать выражение для элементарного пути, проходимого частицей за элементарный (очень малый) промежуток времени :

(2.4)

где v — модуль скорости.

Чтобы определить путь S , проходимый частицей за промежуток времени , надо просуммировать элементарные пути по длине отрезка траектории, проходимой частицей за этот промежуток времени. В математике такую операцию называют интегрированием. Можем написать

(2.5)

Путь, проходимый частицей за промежуток времени равен определенному интегралу от функции v (t), взятому в пределах от , до . Очевидно, чтобы произвести интегрирование (2.5), надо знать зависимость модуля скорости частицы от времени

При движении частицы ее скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. В кинематике вводят величину, характеризующую быстроту изменения скорости со временем. Ее называют ускорением частицы.

Пусть в момент времени частица, двигаясь по траектории, находилась в точке 1 (рис. 2.2).

Рис. 2.2

За элементарный (очень малый) промежуток времени скорость частицы получит элементарное приращение . Векторную величину

(2.6)

называют ускорением частицы в точке 1 траектории. Вектор направлен так же, как и вектор .

Аналогично определяют ускорение частицы в любой точке траектории или, что то же самое, в любой момент времени движения частицы. Ускорение частицы в момент времени равно производной по времени от скорости этой частицы.

Очевидно, зная закон движения частицы (1.3), можно найти зависимость скорости от времени а затем ускорение в любой момент времени.

Можем написать

^, (2.7)

где — проекции вектора на координатные оси.

Модуль ускорения

(2.8)

Проведем через некоторую точку траектории частицы две оси: ось τ, направленную по касательной к траектории в сторону вектора , и ось , направленную по нормали к траектории к центру кривизны траектории в одной точке (центру окружности, дугой которой является элементарный (очень малый) отрезок траектории частицы в районе данной точки) (рис. 2.3). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух составляющих и :

, (2.9)

где и — орты осей и ; и — проекции векторов и на эти оси. Вектор называют касательной или тангенциальным ускорением, вектор — нормальным ускорением.

Рис. 2.3

Можно показать, что проекция

(2.10)

производной по времени от модуля скорости частицы. Тангенциальное ускорение частицы характеризует быстроту изменения модуля ее скорости. При ускоренном движении вектора совпадает с направлением скорости частицы. При замедленном движении вектор противоположен направлению скорости .

Можно показать, что проекция

(2.11)

где R — радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости частицы. Вектор всегда направлен к центру кривизны траектории.

Модуль ускорения

. (2.12)

Пример 2.1. Радиус-вектор при движении частицы по траектории изменяется по закону , м. Найти модуль скорости частицы в момент t ₁ = 2с.

Дано:	Решение

Ответ:

Пример 2.2. Закон движения частицы м. Найти проекцию ускорения частицы в момент времени t ₁ = 5c.

Дано:	Решение

^.

^.

Ответ: a_x (t ₁) = – 90 м/с².

Пример 2.3. В момент времени скорость частицы ускорение Найти радиус кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент времени .

Дано:

Решение     .

Ответ:

Пример 2.4. Закон движения частицы Найти путь частицы за одиннадцатую секунду ее движения.

Дано:	Решение

Ответ: S ₁₂ = 63 м.

Поиск по сайту: