|
|||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Потенциал поля
Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда из точки 1 в точку 2
(35.1)
не зависит от траектории перемещения заряда , а зависит только от положения точек 1 и 2. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным. Можем написать
(35.2)
где — убыль потенциальной энергии поля при переходе из точки 1 в точку 2. Введем скалярную величину
(35.3)
и назовем ее потенциалом электрического поля. Потенциал φ равен потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда в данной точке поля. Единицей измерения потенциала является вольт (В). Подставляя выражение в соотношение (35.2), получаем
(35.4)
где — убыль потенциала электрического поля при переходе из точки 1 в точку 2. С учетом выражения (35.4) запишем соотношение (35.1) в виде
(35.5)
Формула (35.5) дает возможность найти потенциал любого электростатического поля. Найдем потенциал поля точечного заряда q. Так как где — приращение потенциала, имеем для элементарного перемещения
(35.6)
С учетом выражения (31.3) можем написать
(35.7)
(мы учли, что скалярное произведение — элементарному приращению модуля радиуса-вектора (рис. 35.1)).
Рис. 35.1
Подставим выражение (35.7) в соотношение (35.6) и проинтегрируем:
(35.8)
(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Из выражения (35.8) видно, что в зависимости от знака заряда q, потенциал φ может быть как положительным, так и отрицательным. Найдем потенциал поля системы N точечных зарядов . Используя принцип суперпозиции электрических полей, можем написать
откуда
(35.9)
где — потенциал поля в интересующей нас точке, создаваемый i -м точечным зарядом в отсутствие других точечных зарядов. Следовательно, принцип суперпозиции справедлив и для потенциала электрического поля.
Пример 35.1. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов приобрела скорость Найти удельный заряд частицы (отношение ее заряда q к массе m).
Ответ: § 36. Связь между φ и
Пусть перемещение параллельно оси x. В этом случае
где dx — элементарное приращение координаты x. Можем написать
где Ex — проекция вектора на ось x. Учитывая выражение (35.6), получаем
(36.1)
где символ частной производной подчеркивает, что функцию надо дифференцировать только по x, считая y и z при этом постоянными. Аналогично получаем
(36.2)
(36.3)
Сам вектор
(36.4)
Выражение в скобках есть градиент потенциала φ (grad φ). Следовательно,
(36.5)
— напряженность поля равна со знаком минус градиенту потенциала φ этого поля.
Пример 36.1. Имеем бесконечную равномерно заряженную плоскость с поверхностной плоскостью σ. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии x от плоскости.
(36.6)
откуда
(36.7)
Подставим выражение (33.5) в соотношение (36.7) и проинтегрируем:
или (36.8) (при интегрировании мы приняли φ = 0 при x = 0). Графически зависимость φ(x) электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости представлена на рис. 36.1.
Рис. 36.1 Пример 36.2. Имеем равномерно заряженную сферу с поверхностной плотностью заряда σ. Радиус сферы R. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии r от центра сферы.
(36.9)
где — единичный вектор радиуса-вектора , проведенного из центра сферы, помещенного в начало координат, до интересующей нас точки поля. Из соотношения (36.9) следует
(36.10)
Так как внутри сферы (r < R) Е = const, согласно соотношению (36.10)
(36.11)
Следовательно, потенциал φ поля во всех точках внутри сферы одинаков.
Определим φ в точке, находящейся вне заряженной сферы (r > R). Подставим выражение (33.9) в соотношение (36.10) и проинтегрируем:
(36.12)
(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Следовательно, потенциал φ поля вне заряженной сферы убывает с расстоянием r. На поверхности сферы (r = R), а также во всех точках внутри сферы
(36.13)
Графически зависимость φ(r) электрического поля равномерно заряженной сферы представлена на рис. 36.2.
Рис. 36.2
Пример 36.3. Имеем равномерно заряженный шар с объемной плотностью заряда ρ. Радиус сферы R. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии r от центра шара.
(36.14)
где — единичный вектор радиуса-вектора , проведенного из центра шара, помещенного в начало координат, до интересующей нас точки поля. Из соотношения (36.14) следует
(36.15) Сначала определим φ в точке, находящейся внутри заряженного шара (r < R). Подставим выражение (33.14) в соотношение (36.15) и проинтегрируем:
откуда
(36.16)
где — потенциал в центре шара. Следовательно, потенциал φ поля внутри заряженного шара убывает с расстоянием r. Теперь определим φ в точке, находящейся вне заряженного шара (r > R). Подставим выражение (33.15) в соотношение (36.15) и проинтегрируем:
(36.17)
(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Следовательно, потенциал φ поля вне заряженного шара убывает с расстоянием r. На поверхности шара (r = R)
(36.18)
Записав выражение (36.16) для поверхности шара
найдем потенциал в центре шара:
(36.19)
откуда получаем окончательное выражение для φ в точке, находящейся в центре шара:
(36.20)
Графически зависимость φ(r) электрического поля равномерно заряженного шара представлена на рис. 36.3.
Рис. 36.3 Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.02 сек.) |