АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Потенциал поля

Читайте также:
  1. VI. По размеру предприятий (по мощности производственного потенциала)
  2. Аксиома о потенциальной опасности деятельности
  3. Арт психология и ее возможности в развитии творческого потенциала личности
  4. Биоэлектрические потенциалы
  5. Вопрос 15 Распределение молекул в потенциальном поле сил
  6. Вопрос 25 Потенциал
  7. Вопрос№30 Электрическое поле и его характеристики. Напряженность и потенциал
  8. Врожденные потенциальные возможности человека
  9. Вычесление потенциала простейших электронных полей.
  10. Вычисление потенциальной энергии
  11. Глава 20. Трудовой потенциал коллектива
  12. Глава 4. Природно-ресурсный потенциал мирового хозяйства

 

Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда из точки 1 в точку 2

 

(35.1)

 

не зависит от траектории перемещения заряда , а зависит только от положения точек 1 и 2. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным. Можем написать

 

(35.2)

 

где — убыль потенциальной энергии поля при переходе из точки 1 в точку 2.

Введем скалярную величину

 

(35.3)

 

и назовем ее потенциалом электрического поля. Потенциал φ равен потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда в данной точке поля. Единицей измерения потенциала является вольт (В).

Подставляя выражение в соотношение (35.2), получаем

 

(35.4)

 

где — убыль потенциала электрического поля при переходе из точки 1 в точку 2.

С учетом выражения (35.4) запишем соотношение (35.1) в виде

 

(35.5)

 

Формула (35.5) дает возможность найти потенциал любого электростатического поля. Найдем потенциал поля точечного заряда q. Так как где — приращение потенциала, имеем для элементарного перемещения

 

(35.6)

 

С учетом выражения (31.3) можем написать

 

(35.7)

 

(мы учли, что скалярное произведение — элементарному приращению модуля радиуса-вектора (рис. 35.1)).

 

 

Рис. 35.1

 

Подставим выражение (35.7) в соотношение (35.6) и проинтегрируем:

 

 

 

(35.8)

 

(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Из выражения (35.8) видно, что в зависимости от знака заряда q, потенциал φ может быть как положительным, так и отрицательным.

Найдем потенциал поля системы N точечных зарядов . Используя принцип суперпозиции электрических полей, можем написать

 

 

откуда

 

(35.9)

 

где — потенциал поля в интересующей нас точке, создаваемый i -м точечным зарядом в отсутствие других точечных зарядов. Следовательно, принцип суперпозиции справедлив и для потенциала электрического поля.

 

 

Пример 35.1. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов приобрела скорость Найти удельный заряд частицы (отношение ее заряда q к массе m).

Дано:     Решение    
q/m –?

 

 

 

Ответ:


§ 36. Связь между φ и

 

Пусть перемещение параллельно оси x. В этом случае

 

 

где dx — элементарное приращение координаты x. Можем написать

 

 

где Ex — проекция вектора на ось x. Учитывая выражение (35.6), получаем

 

(36.1)

 

где символ частной производной подчеркивает, что функцию надо дифференцировать только по x, считая y и z при этом постоянными. Аналогично получаем

 

(36.2)

 

(36.3)

 

Сам вектор

 

(36.4)

 

Выражение в скобках есть градиент потенциала φ (grad φ). Следовательно,

 

(36.5)

 

— напряженность поля равна со знаком минус градиенту потенциала φ этого поля.

 

Пример 36.1. Имеем бесконечную равномерно заряженную плоскость с поверхностной плоскостью σ. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии x от плоскости.

Дано:   σ   x   Решение   Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом примера 33.1. Можем написать    
φ –?

 

(36.6)

 

откуда

 

(36.7)

 

Подставим выражение (33.5) в соотношение (36.7) и проинтегрируем:

 

 

или

(36.8)

(при интегрировании мы приняли φ = 0 при x = 0).

Графически зависимость φ(x) электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости представлена на рис. 36.1.

 

Рис. 36.1

Пример 36.2. Имеем равномерно заряженную сферу с поверхностной плотностью заряда σ. Радиус сферы R. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии r от центра сферы.

Дано:   σ   R   r   Решение   Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом примера 33.2. Можем написать    
φ –?

 

(36.9)

 

где — единичный вектор радиуса-вектора , проведенного из центра сферы, помещенного в начало координат, до интересующей нас точки поля. Из соотношения (36.9) следует

 

(36.10)

 

Так как внутри сферы (r < R) Е = const, согласно соотношению (36.10)

 

(36.11)

 

Следовательно, потенциал φ поля во всех точках внутри сферы одинаков.

 

Определим φ в точке, находящейся вне заряженной сферы (r > R). Подставим выражение (33.9) в соотношение (36.10) и проинтегрируем:

 

 

(36.12)

 

(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Следовательно, потенциал φ поля вне заряженной сферы убывает с расстоянием r. На поверхности сферы (r = R), а также во всех точках внутри сферы

 

(36.13)

 

Графически зависимость φ(r) электрического поля равномерно заряженной сферы представлена на рис. 36.2.

 

Рис. 36.2

 

Пример 36.3. Имеем равномерно заряженный шар с объемной плотностью заряда ρ. Радиус сферы R. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии r от центра шара.

Дано:   ρ   R   r   Решение   Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом решения примера 33.3. Можем написать    
φ –?

 

(36.14)

 

где — единичный вектор радиуса-вектора , проведенного из центра шара, помещенного в начало координат, до интересующей нас точки поля. Из соотношения (36.14) следует

 

(36.15)

Сначала определим φ в точке, находящейся внутри заряженного шара (r < R). Подставим выражение (33.14) в соотношение (36.15) и проинтегрируем:

 

 

 

откуда

 

(36.16)

 

где — потенциал в центре шара. Следовательно, потенциал φ поля внутри заряженного шара убывает с расстоянием r.

Теперь определим φ в точке, находящейся вне заряженного шара (r > R). Подставим выражение (33.15) в соотношение (36.15) и проинтегрируем:

 

 

(36.17)

 

(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Следовательно, потенциал φ поля вне заряженного шара убывает с расстоянием r.

На поверхности шара (r = R)

 

(36.18)

 

Записав выражение (36.16) для поверхности шара

 

 

найдем потенциал в центре шара:

 

(36.19)

 

откуда получаем окончательное выражение для φ в точке, находящейся в центре шара:

 

(36.20)

 

Графически зависимость φ(r) электрического поля равномерно заряженного шара представлена на рис. 36.3.

 

 

Рис. 36.3


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.02 сек.)