|
||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Напряженность поля
Экспериментально было обнаружено, что частицы могут испытывать взаимодействие гораздо более сильное, чем гравитационное. Для объяснения этого к массе m частицы добавили еще одну характеристику частицы — электрический заряд q, измеряемый в кулонах (Кл). Назовем заряженную частицу, т. е. частицу, имеющую заряд q, точечным зарядом q (в отличие от заряженного тела, размерами которого нельзя пренебречь в условиях данной задачи). Каждый неподвижный точечный заряд q создает в окружающем пространстве электрическое поле (точнее электростатическое поле). На любой другой точечный заряд
где вектор
Рис. 31.1
Напряженность
где Опыт показывает, что подвижный точечный заряд q создает на расстоянии r от него напряженность
где ε0 — электрическая постоянная (ε0 = 8,85·10–12 Кл2/(Н·м2)); Из выражения (31.1) видно, что электрическая сила Рис. 31.2
Из опыта следует, что напряженность поля системы N неподвижных точечных зарядов
где
Пример 31.1. Два шарика с массами по 0,3 кг находятся на таком расстоянии, что взаимодействие их зарядов уравновешивается силой гравитационного притяжения. Найти радиусы шаров, если поверхностная плотность заряда шаров
Ответ: R = 4 см. Пример 31.2. Точечные заряды q 1 = 2 q и q 2 = – q расположены, как показано на рис. 31.4. Расстояние между зарядами равно d. Определить, на каком расстоянии x 1 от заряда q 1 напряженность
Согласно принципу суперпозиции электрических полей в точке, где
где
Сократим на
откуда
Ответ: x 1 = 3,5 d. § 32. Поток вектора
Наглядно поле вектора 1) касательная к ним в каждой точке совпадает с направлением вектора 2) число линий, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям (густота линий), равно модулю вектора Электрическое поле называют однородным, если в каждой точке поля вектор
Рис. 32.1 Рис. 32.2
Линии вектора Возьмем элементарную площадку dS в поле вектора
где Рис. 32.3
Назовем потоком Ф вектора
интегралу по поверхности S от скалярного произведения векторов § 33. Теорема Гаусса для поля вектора
Теорема. Поток вектора
где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности. Доказательство теоремы. Рассмотрим электрическое поле одного неподвижного точечного заряда q. Пусть q > 0. Мысленно окружим заряд q произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 33.1).
Рис. 33.1
Найдем поток d Ф вектора
где Поток вектора
где
что совпадает с выражением (33.1). Теперь рассмотрим электрическое поле, создаваемое системой N неподвижных точечных зарядов
где q — алгебраическая сумма N зарядов, что совпадает с выражением (33.1). Теорема Гаусса позволяет в некоторых случаях очень просто определить напряженность
Пример 33.1. Имеем бесконечную равномерно заряженную плоскость с поверхностной плотностью заряда σ. Определить напряженн о сть Е электрического поля на расстоянии x от плоскости.
Проведем через интересующую нас точку гауссову замкнутую поверхность S в виде симметричного относительно плоскости цилиндра так, чтобы точка находилась на основании цилиндра (рис. 32.2). Найдем поток вектора
где S осн — площадь основания цилиндра. При интегрировании мы учли, что поток вектора
Рис. 33.2
Согласно теореме Гаусса
где
В случае равномерно заряженной плоскости (σ = const) можем написать
(из рис. 33.2 видно, что заряд
Подставляя выражения (33.2) и (33.4) в соотношение (33.3), получаем
откуда
Из выражения (33.5) видно, что E не зависит от расстояния x от заряженной плоскости, т. е.
Следовательно, электрическое поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной плоскостью, является однородным.
Пример 33.2. Имеем равномерно заряженную сферу с поверхностной плотностью заряда σ. Радиус сферы R. Определить напряженн о сть Е электрического поля на расстоянии r от центра сферы.
(из рис. 33.3 видно, что заряда внутри гауссовой поверхности нет), откуда следует, что
Следовательно, внутри заряженной сферы напряженность Е электрического поля равна нулю. Теперь определим Е в точке, находящейся вне заряженной сферы (r > R). Пусть сфера заряжена положительно. Вследствие симметрии вектор Е поля, создаваемого сферой, в интересующей нас точке направлен радиально от центра сферы.
При интегрировании мы учли, что для всех точек гауссовой сферы α = 0 и Е = = const. Согласно теореме Гаусса
Из рис. 33.3 видно, что заряженная сфера находится внутри гауссовой поверхности и поэтому заряд q вн равен заряду q сф сферы. В случае равномерно заряженной сферы (σ = const) можем записать
откуда
Подставляя выражения (33.6) и (33.8) в соотношение (33.7), получаем
откуда
Следовательно, напряженность Е поля вне заряженной сферы убывает с расстоянием r. Графически зависимость E (r) электрического поля равномерно заряженной сферы представлена на рис. 33.4.
Рис. 33.4 Пример 33.3. Имеем равномерно заряженный шар с объемной плотностью заряда ρ. Радиус шара R. Определить напряженн о сть Е электрического поля на расстоянии r от центра шара.
При интегрировании мы учли, что для всех точек гауссовой сферы α = 0 и Е = const. Согласно теореме Гаусса
где
В случае равномерно заряженного шара (ρ = const) можем написать
где
Подставляя выражения (33.10) и (33.13) в соотношение (33.11), получаем
откуда
Следовательно, напряженность Е поля вне заряженной сферы возрастает с расстоянием r. Теперь, рассуждая аналогично, определим Е в точке, находящейся вне заряженного шара (r > R). Из рис. 33.5 видно, что весь заряженный шар находится внутри гауссовой поверхности и поэтому q вн равен заряду q ш шара. Можем написать
откуда
Из соотношения
следует
Следовательно, напряженность Е поля вне заряженного шара убывает с расстоянием r. Графически зависимость E (r) электрического поля равномерно заряженного шара представлена на рис. 33.6.
Рис. 33.6
§ 34. Циркуляция вектора
Электрическое поле, создаваемое одним неподвижным точечным зарядом или системой неподвижных точечных зарядов, называют электростатическим. Работа сил этого поля по перемещению заряженной частицы между двумя любыми точками не зависит от траектории перемещения частицы, а зависит только от положения этих точек. Пусть точечный заряд
где
не зависит от формы и длины линии между точками 1 и 2. Интеграл
взятый по замкнутой линии (контуру), называют циркуляцией вектора Теорема о циркуляции вектора
Доказательство теоремы. Имеем замкнутый контур 1 a 2 b 1 (рис. 34.1). Циркуляция вектора
Подставляя выражение (34.3) в соотношение (34.3), получаем
что и требовалось доказать. Теорема о циркуляции вектора
Пример 34.1. Является ли поле, изображенное на рис. 34.2, электростатическим?
Следовательно, согласно теореме о циркуляции вектора
Пример 34.2. Возьмем в качестве замкнутого контура одну из линий вектора
где ℓ — длина контура (мы учли, что при интегрировании по контуру угол между векторами Следовательно, согласно теореме о циркуляции вектора
Рис. 34.3 Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.049 сек.) |