Момент силы

Пусть частица движется под действием силы и ее положение в пространстве в некоторый момент времени определяет радиус-вектор , проведенный из точки 0, являющейся началом координат (рис. 6.1).

Назовем моментом силы относительно точки 0 вектор , равный векторному произведению векторов и :

(6.1)

Рис. 6.1

Направления векторов и связаны правилом правого винта (если направить указательный палец правой руки по вектору , а средний — по вектору , то отогнутый большой палец покажет направление вектора (рис. 6.1)). Модуль момента силы

(6.2)

где и — модули векторов и ; α — угол между векторами и

Назовем прямую, вдоль которой направлена сила, линией действия силы, а расстояние от линии действия силы до точки 0 — плечом силы относительно точки 0. Как видно из рис. 6.1,

откуда

(6.3)

Проекция вектора на координатные оси называют моментами силы относительно этих осей. Например, — момент силы относительно оси .

Теперь перейдем к рассмотрению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси . Причиной этого вращения может быть сила , приложенная к какой-либо частице тела, отстоящей от оси на некотором расстоянии . Под действием силы эта частица, а также все остальные частицы твердого тела будут двигаться по различным окружностям, центры которых лежат на оси , а твердое тело вращаться с ускорением вокруг оси .

Расчет показывает, что для данного твердого тела и определенной оси вращения проекция углового ускорения пропорциональна проекции момента силы :

(6.4)

где — положительная скалярная величина, называемая моментом инерции твердого тела относительно оси .

По определению

(6.5)

где и — масса и расстояние -й частицы тела от z;

N — число частиц, из которых состоит тело.

Для нахождения момента инерции твердого тела от выражения (6.5) переходят к формуле

(6.6)

где — масса элемента тела, находящего на расстоянии от оси

В Приложении приведены моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси , проходящей через центр масс тела. Зная момент инерции , можно определить момент инерции относительно любой оси, параллельной оси и отстоящей от нее на расстоянии (теорема Штейнера):

(6.7)

где — масса тела.

Соотношение (6.4), записанное в виде

(6.8)

называют основным уравнением динамики вращения твердого тела.

Если на тело действует не одна, а несколько сил, то в уравнении (6.8) M_z — суммарный момент сил относительно оси

При повороте тела на элементарный угол d φсила совершает элементарную работу

(6.9)

Работа силы при повороте тела на угол

(6.10)

Мощность этой силы

(6.11)

где — проекция угловой скорости тела на ось вращения .

Пример 6.1. Колесо диаметром D = 60 см вращается под действием касательной к ее ободу силы F = 10 H. Найти момент инерции колеса относительно неподвижной оси , проходящей через центр колеса перпендикулярно его плоскости, если за промежуток времени от до t ₂ = 3 c проекция угловой скорости колеса изменилась от 0 до 9 рад/с.

Дано:   D = 60 см   F = 10 H     t 2 = 3 c	Решение
J –?

Ответ:

Пример 6.2. Закон вращения шара, где А = 2 рад, Шар вращается вокруг оси , проходящей через его центр. Найти среднюю мощность , развиваемую силой, действующей на шар при его вращении от до момента времени его остановки. Радиус шара Масса шара

Дано:	Решение

(см. Приложение А)

Ответ:

Поиск по сайту: