Эконометрические модели

Инструментом для создания таких моделей является корреляционно-регрессионный анализ случайных величин.

Использование на практике эконометрических моделей предполагает, что соответствующая система име­ет достаточно жесткую структуру. Описываемые этой моделью процессы характеризуются стабильностью.

Разработка таких моделей является довольно трудоемким и сложным делом. Поэтому всегда следует вначале решить вопрос о целесообразности разработки эконометрической модели, сопоставив затраты на ее разработку с экономическим эффектом от ее использования. В качестве альтернативного варианта может быть выбран вариант использования экспертных методов прогнозирования.

Эконометрическая модель может быть описана системой регрессионных уравнений следующего вида:

(2.2.28)

Здесь – зависимые (эндогенные) переменные, a – независимые (экзогенные) переменные.

Частным случаем эконометрических моделей регрессионные модели.

Этот тип моделей широко используется в прогнозировании экономических характеристик. Однако следу­ет иметь в виду, что в инновационной сфере возможности применения регрессионных моделей существенно ограничены. Так же как и экстраполяционные методы, регрессионные модели могут быть использованы лишь в комплексе с другими, более гибкими, методами прогнозирования.

Если трендовые модели отражают зависимость исследуемой характеристики только от времени, то соз­дание регрессионных моделей базируется на том, что существует ряд факторов, влияющих на данную характе­ристику. Причем, учет этого влияния поддается формализации.

В общем случае регрессионная модель имеет вид:

, (2.2.29)

где - неслучайная составляющая исследуемой характеристики (зависимая переменная);

x_i — i-й фактор (независимая переменная), i = 1 - п.

Разработка модели осуществляется в 3 этапа:

♦ спецификация;

♦ оценивание параметров;

♦ анализ качества.

Спецификация модели заключается в решении двух основных задач:

♦ выявление факторов, влияющих на исследуемую характеристику;

♦ определение формы уравнения регрессии.

Решение этих задач основано на глубоком качественном анализе проблемы с учетом статистических дан­ных. На этапе спецификации оно носит лишь предварительный характер. Окончательное решение эти задачи получают в результате дополнительных исследований с использованием математического аппарата корреляци­онно-регрессионного анализа на следующих этапах разработки модели.

Рассмотрим решение задачи по оцениванию параметров модели на примере уравнения парной линейной регрессии: .

Исходными данными для построения модели являются две совокупности наблюдений:

1. - значения независимого факторах.

2. - значения зависимого фактора у, зафиксированные при соответствующих значениях х. Линия регрессии описывает изменение неслучайной составляющей характеристики у. Для любого значе­ния i = 1, 2,..., n значение у можно представить в следующем виде:

, (2.2.30)

где — соответствующее значение неслучайной составляющей; е_i - i-я реализация случайной составляющей.

Дальнейшие построения, по сути, ничем не отличаются от построений, использованных нами при оцени­вании параметров линейного тренда. Те же требования предъявляются к случайной составляющей и к оценкам параметров уравнения. Для получения этих оценок используют метод наименьших квадратов.

В общем случае исследуемая характеристика у может зависеть от нескольких факторов. Тогда регресси­онная модель называется моделью множественной регрессии.

На практике чаще всего пользуются моделями линейной регрессии:

. (2.2.31)

Построение модели линейной множественной регрессии производится аналогично модели парной линей­ной регрессии, только при этом используется матричная форма записи. Параметры {а_г} оценивают по методу наименьших квадратов.

Нелинейные регрессионные модели легко могут быть преобразованы к линейному виду с помощью не­сложных приемов линеаризации. После этого, оценивание параметров производится так же, как для линейной модели, а затем модель вновь преобразуется к исходному виду.

Рассмотрим процедуру анализа качества регрессионной модели.

Уточним вначале, что, говоря о качестве регрессионной модели, мы будем иметь в виду модель множест­венной линейной регрессии.

Поскольку на практике процедуры построения моделей осуществляются с помощью специальных стати­стических пакетов прикладных программ для ЭВМ, то проблемы оценивания параметров, анализа качества и уточнения формы модели решаются параллельно.

Анализ качества модели заключается в выполнении следующих задач:

♦ оценка значимости коэффициентов уравнения;

♦ анализ взаимосвязей между переменными модели;

♦ оценка значимости модели в целом;

♦ исследование характеристик случайной составляющей модели.

В хорошей модели (т. е. в модели, пригодной для практического использования) все коэффициенты урав­нения должны быть значимыми.

Взаимосвязи между переменными исследуют с помощью коэффициентов парной корреляции. Коэффи­циенты корреляции между любыми двумя факторами х_i и x_j (i ≠ j) должны быть незначимыми (в идеале равны­ми нулю); в противном случае эти факторы дублируют друг друга. А коэффициенты корреляции между иссле­дуемой характеристикой у и любым из факторов x_i должны быть значимыми, иначе этот фактор не оказывает существенного влияния на результат и может быть исключен из уравнения модели.

При анализе взаимосвязей с помощью коэффициентов парной корреляции параллельно корректируется форма исходной модели. Этот процесс требует творческого подхода. Исключение отдельных факторов может улучшить одни и, одновременно, ухудшить другие показатели качества модели. Поэтому исследователь должен, зачастую, идти путем проб и ошибок, перебирая и анализируя различные варианты моделей.

Значимость регрессионной модели в целом оценивается с помощью трех показателей:

♦ коэффициентом множественной корреляции;

♦ коэффициентом детерминации;

♦ критерием Фишера.

Все эти показатели могут с одинаковым успехом быть использованы для оценки значимости регрессион­ной модели. Однако если модель нелинейна, то следует использовать критерий Фишера.

Случайная составляющая модели оценивается остатками {е_i}, где:

Процедура анализа остатков регрессионной модели аналогична соответствующей процедуре для анализа трендовой модели. Единственное отличие состоит в том, что при проверке на отсутствие автокорреляции остат­ки предварительно необходимо расположить в хронологической последовательности.

Напомним, что в хорошей модели случайная составляющая должна подчиняться нормальному закону распределения вероятностей с нулевым математическим ожиданием, постоянной дисперсией и отсутствием автокорреляции между любыми двумя соседними значениями.

Допустим, что мы смогли построить несколько моделей, удовлетворяющих всем, рассмотренным выше показателям качества:

♦ все коэффициенты уравнения значимы;

♦ модель в целом значима;

♦ выполняются все требования к случайной составляющей.

Тогда возникает вопрос, какая из построенных моделей самая лучшая? С формальной точки зрения наи­лучшей моделью следует считать модель с максимальным значением критерия Фишера, рассчитанного для оценки значимости модели в целом.

Для линейных регрессионных моделей стой же целью можно использовать коэффициент детерминации или коэффициент множественной корреляции, а для нелинейных - сумму квадратов остатков. Однако, наилучшая модель, выбранная по критерию Фишера, будет наилучшей и по всем другим перечисленным критериям.

Прогнозирование с использованием регрессионных моделей осуществляется следующим образом.

На первом шаге определяются прогнозные значения факторов на момент времени t: {x_1p, x_2p, …, x_np}.

При нормативном прогнозировании это могут быть плановые значения. В других случаях значения факто­ров могут быть оценены, например, экспертным методом или с помощью соответствующих трендовых моделей.

На втором шаге прогнозные значения факторов подставляют в регрессии. Таким образом, рассчитывают среднее значение прогноза исследуемой характеристики на момент времени t_p-y_p.

На третьем шаге рассчитывается доверительный интервал прогноза с выбранной доверительной ве­роятностью Р_дов.

Например, для модели парной линейной регрессии доверительный интервал прогноза на момент времени t_p может быть рассчитан по формуле:

, (2.2.32)

где S- среднеквадратическое отклонение остатков;

_р - значение, рассчитанное по уравнению тренда;

t_a — значение t-критерия Стьюдента, выбранное из таблицы для доверительной вероятности и числа степеней свободы v-п-2;

х_р - прогнозное значение фактора;

n - количество наблюдений.

Чем сильнее х_р отличается от среднего значения фактора х_ср, тем шире доверительный интервал прогноза.

Поиск по сайту: