Пространство состояний

По характеру реакции на входные воздействия все системы или их отдельные элементы можно разделить на статические и динамические. В статических звеньях выход y (t) определяется только значением входа u (t) в данный момент времени t; все, что было с системой до этого, никакого влияния не оказывает. Такие системы описываются статической характеристикой:

y (t) = f (u (t)).

В динамических системах информации о входном воздействии в данный момент недостаточно, чтобы узнать ее состояние (т. е. выходной сигнал); также важна и предыстория изменения входа и начальное состояние:

y (t) = S (x (t ₀), u [ t ₀, t ]),

где x (t) – некоторая характеристика, которая называется состоянием системы.

Относительно понятия «состояние системы» справедливы следующие утверждения:

- состояние системы в данный момент времени содержит всю информацию о системе и позволяет определить ее поведение в будущем;

- состояние динамической системы определяется входным процессом и начальным состоянием;

- состояние системы определяется не единственным образом, а с точностью до взаимно-однозначного преобразования.

Множество X = { x } возможных состояний системы называется пространством состояний.

Для непрерывных систем уравнения состояния могут быть представлены в виде системы

Первое уравнение – собственно уравнение состояния – описывает изменение состояния системы во времени в зависимости от начального состояния и входного сигнала и характеризует динамику системы. Второе уравнение – уравнение выхода – устанавливает связь выходного сигнала с текущими значениями состояния и входа и является статическим соотношением.

Следует иметь в виду, что x (t), y (t) являются векторами, а функции f (), g () – вектор-функциями от векторных аргументов, в общем случае нелинейными. Видим, что уравнение состояния представляется в форме Коши.

При исследовании нелинейные системы обычно стремятся линеаризовать. Дело в том, что линеаризация значительно упрощает исследование свойств, определение характеристик, синтез управляющих воздействий и т. д. Линеаризация возможна в случае, если нелинейности не являются существенными, либо же в «окрестностях» некоторых режимов. Рассмотрим в качестве примера линеаризацию уравнения свободных колебаний математического маятника

В пространстве состояний описание системы может иметь, например, такой вид (не единственный!):

В окрестности положения устойчивого равновесия () получаем

То же самое уравнение в окрестности неустойчивого положения равновесия () примет вид

Поиск по сайту: